Fonction de Volterra

En mathématiques, la fonction de Volterra, qui prend son nom de Vito Volterra, est une fonction réelle V définie sur $\mathbb {R}$, ayant la curieuse combinaison suivante de propriétés :

• V est dérivable partout ;
• la dérivée V' est bornée partout ;
• la dérivée n'est pas Riemann-intégrable.

Les trois premières étapes de la construction.

Définition et construction

La fonction est définie à partir de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor, qui sera noté ici S, et des « copies » de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ pour $x$ ≠ 0 et $f(0)=0$, le but étant de construire une fonction dérivable dont la dérivée est discontinue sur un ensemble de mesure non nulle. Une telle dérivée ne pourra pas être Riemann-intégrable.

L'ensemble S est une partie fermée de [0,1], de mesure non nulle, d'intérieur vide, sans point isolé. Son complémentaire dans [0,1] est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. On définit la fonction de Volterra de la façon suivante. Elle est nulle sur S. Sur chaque intervalle ouvert $]a,b[$ du complémentaire de S, elle est égale à une fonction dérivable, à dérivée continue, se prolongeant en a et en b en une fonction continue et dérivable, avec $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$, mais de façon que la dérivée soit discontinue en a et en b. Pour cela, on adapte à l'intervalle $]a,b[$ la construction ci-dessous effectuée, pour simplifier les notations, au cas de l'intervalle ]0,1[ :

• Prendre $f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ pour $x\in ]0,c]$, avec c un réel élément de $]0,{\frac {1}{2}}]$ et tel que $f'(c)=0$.
• Prendre $f(x)=f(c)$ sur $[c,{\frac {1}{2}}]$.
• Prendre $f(x)=f(1-x)$ sur $[{\frac {1}{2}},1]$.

Propriétés

Ayant effectué une construction comparable sur chaque intervalle du complémentaire de S, on obtient une fonction V dérivable en tout point de $[0,1]$, et dont la dérivée est discontinue sur S et continue sur son complémentaire.

En effet, la fonction f précédente est dérivable en 0, de dérivée nulle. Mais pour x non nul, on a $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$, ce qui implique que dans tout voisinage de zéro, il y a des points où $f'(x)$ prend les valeurs 1 et -1. Ainsi, il y a des points où $V'(x)$ prend les valeurs 1 et -1 dans tout voisinage de chaque borne des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble S de Smith-Volterra-Cantor. Ainsi, en tout point de S, V est dérivable, de dérivée nulle, mais $V'(x)$ y est discontinue. Cependant, $V'$ est continue dans chacun de ces intervalles, donc l'ensemble des points de discontinuités de $V'$ est exactement égal à S.

Comme l'ensemble S admet une mesure de Lebesgue strictement positive, cela signifie que $V'$ est discontinue sur un ensemble de mesure non nulle, et donc non Riemann-intégrable.

Notons que si l'on avait mené la même construction sur l'ensemble de Cantor C, on aurait obtenu une fonction avec des propriétés similaires, mais la dérivée aurait été discontinue sur C qui est de mesure nulle, et la fonction obtenue aurait alors eu une dérivée Riemann-intégrable.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Volterra's function » (voir la liste des auteurs).