Fonction de Riccati-Bessel
En analyse, les fonctions de Riccati–Bessel sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques, qui apparaissent en mécanique quantique dans la résolution de l'équation de Schrödinger avec une barrière cylindrique infinie hypothétique[1]. Elles vérifient l'équation différentielle :
Elles sont définies par :
![Fonctions de Riccati–Bessel Sn sur le plan complexe](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Riccati_Bessel_Function_S_3D_Complex_Color_Plot_with_Mathematica_13.2.svg/220px-Riccati_Bessel_Function_S_3D_Complex_Color_Plot_with_Mathematica_13.2.svg.png)
Avec les travaux de Peter Debye[2],[3], on note parfois ψn et χn au lieu de Sn et Cn respectivement.
Premières fonctions
modifierOn a[4] :
Développements en série
modifierLes fonctions de Riccati-Bessel ont pour développements en série entière :
où, pour un entier p, p!! désigne la double factorielle.
Application
modifierL'équation différentielle apparait dans le problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une sphère, ce qu'on appelle la diffraction de Mie depuis que Gustav Mie a publié la première solution en 1908[5].
Articles connexes
modifierRéférences
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bessel function » (voir la liste des auteurs).
- (en) David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2 (lire en ligne [PDF]).
- (en) Jianqi Shen, Huarui Wang, Bingshan Wang, Haitao Yu et Bin Yu, « Stability in Debye series calculation for light scattering by absorbing particles and bubbles », Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 111, no 5, , p. 772-781 (DOI 10.1016/j.jqsrt.2009.11.009)
- (en) I. Brevik, J. B. Aarseth et J. S. Høye, « Casimir problem in spherical dielectrics: a quantum statistical mechanical approach », International Journal of Modern Physics, (lire en ligne)
- (en) Peter Maličký et Marianna Maličká, « On the computation of Riccati-Bessel functions », Aplikace matematiky, vol. 35, no 6, , p. 487–493 (lire en ligne)
- (en) Hong Du, « Mie-scattering calculation », Applied Optics, vol. 43, no 9, , p. 1951–1956 (PMID 15065726, DOI 10.1364/ao.43.001951, Bibcode 2004ApOpt..43.1951D)
Liens externes
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Riccati-Bessel Functions », sur MathWorld
- (en) « Riccati–Bessel Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)