Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à $x,y$ ou $z,{\bar {z}}$ ) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction $f:U\to \mathbb {C}$ d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe $\mathbb {C}$ . On utilisera les notations suivantes :

la variable complexe $z$ sera notée $x+i\,y$ , où x, y sont réels ;
les parties réelle et imaginaire de $f(z)=f(x+i\,y)$ seront notées respectivement $P(x,y)$ et $Q(x,y)$ , c'est-à-dire : $f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)$ , où $P,\,Q$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe

Dérivées partielles par rapport à x et y

Définition : soit $z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}\in U$ , où $x_{0},\,y_{0}$ sont réels.

on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $z_{0}$ par rapport à la variable x, notée ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ si la limite (finie) ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=\lim _{u\to 0,\,u\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}$ existe
on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $z_{0}$ par rapport à la variable y, notée ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})$ si la limite (finie) ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=\lim _{v\to 0,\,v\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}{\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}$ existe

Propriété :

la dérivée partielle ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ existe si et seulement si les dérivées partielles ${\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ , ${\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ existent, et alors ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$
la dérivée partielle ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})$ existe si et seulement si les dérivées partielles ${\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ , ${\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ existent, et alors ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})={\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})+i\,{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

si, par exemple, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})$ existe en tout point $z_{0}\in U$ , on définit la fonction ${\frac {\partial f}{\partial x}}:U\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(z)$
si, de plus, la fonction ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point $z_{0}$ par rapport à la variable x, on la note ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})$ : ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(z_{0})={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})$ . De manière analogue, si ${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(z_{0})$ existe, on la note ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(z_{0})$ , etc.

Dérivées partielles par rapport à $z$ et son conjugué

Définition : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point $z_{0}$ . Alors, on définit :

${\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})-i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)$
${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})+i\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})\right)$

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})$
${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,\left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})-{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right)$

Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou $\mathbb {R}$ -différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction $\mathbb {R}$ -linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que $f$ , en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

Définition : on dit qu'une application $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ est $\mathbb {R}$ -linéaire si : $\forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\forall \,\beta \in \mathbb {R} ,\forall \,z\in \mathbb {C} ,\forall \,w\in \mathbb {C} ,L(\alpha \,z+\beta \,w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$ .
- (alors : $\forall u\in \mathbb {R} ,\,\forall v\in \mathbb {R} ,\,L(u+i\,v)=uL(1)+vL(i)$ )

Définition : on dit que la fonction $f:U\to \mathbb {C}$ est $\mathbb {R}$ -différentiable en un point $z_{0}\in U$ s'il existe une application $\mathbb {R}$ -linéaire $L:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ et une fonction $\epsilon$ d'une variable complexe telles que $\epsilon (h)\to 0$ lorsque $h\to 0$ et $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)$ (en supposant que $|h|<r$ , où r est le rayon d'une boule ouverte telle que $B(z_{0},\,r)\subset U$ ).
- Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle $\mathbb {R}$ -différentielle ou différentielle de $f$ en $z_{0}$ et on la note habituellement $df(z_{0})$ .
- On dit que $f$ est $\mathbb {R}$ -différentiable sur U si elle est $\mathbb {R}$ -différentiable en tout point de U.

Propriété : si $f$ est $\mathbb {R}$ -différentiable en un point $z_{0}\in U$ , alors :
- elle est continue en $z_{0}$ ;
- elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en $z_{0}$ , et ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)=df(z_{0})(1)$ , ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)=df(z_{0})(i)$ .

Démonstration :

continuité : $f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)\to f(z_{0})$ lorsque $h\to 0$ parce que $L(h)\to 0$ (la $\mathbb {R}$ -différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et $h\,\epsilon (h)\to 0$ .
existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
- pour tout u réel tel que $|u|<r$ , $f(z_{0}+u)=f(z_{0})+L(u)+u\,\epsilon (u)=f(z_{0})+uL(1)+u\,\epsilon (u)$ ; donc, si $u\neq 0$ , ${\frac {f(z_{0}+u)-f(z_{0})}{u}}=L(1)+\epsilon (u)\to L(1)$ lorsque $u\to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $f$ en $z_{0}$ par rapport à $x$ , et la relation ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=L(1)$
- pour tout v réel tel que $|v|<r$ , $f(z_{0}+i\,v)=f(z_{0})+L(i\,v)+i\,v\,\epsilon (i\,v)=f(z_{0})+vL(i)+i\,v\,\epsilon (i\,v)$ ; donc, si $v\neq 0$ , ${\frac {f(z_{0}+i\,v)-f(z_{0})}{v}}=L(i)+i\,\epsilon (i\,v)\to L(i)$ lorsque $v\to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $f$ en $z_{0}$ par rapport à $y$ , et la relation ${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=L(i)$ .

Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de $\mathbb {R}$ -différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
- Soit $z_{0}\in U$ . Si $f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $z$ et ${\bar {z}}$ ) en tout point d'un voisinage de $z_{0}$ , et si ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ , ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ (ou ${\frac {\partial f}{\partial z}}$ , ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ ) sont continues en $z_{0}$ , alors $f$ est $\mathbb {R}$ -différentiable en $z_{0}$
- En particulier, si $f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $z$ et ${\bar {z}}$ ) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction $f$ est $\mathbb {R}$ -différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que $f$ est $\mathbb {R}$ -continûment différentiable sur U, ou de classe $C^{1}$ sur U.