Espace pseudo-métrique

En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Définition

Une pseudo-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

$\mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

1. $\mathrm {d} \left(x,x\right)=0$ ;
2. $\mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)$ (symétrie) ;
3. $\mathrm {d} \left(x,z\right)\leq \mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,z\right)$ (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir $\mathrm {d} (x,y)=0$ pour des points distincts $x\neq y$.

Exemples

Espace	Pseudo-distance	Propriétés et remarques
Un ensemble $X$ quelconque non vide.	$d(x,y):=0$	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton.
L'espace $\mathbb {R} ^{X}$ des fonctions à valeurs réelles définies sur $X$.	$d(f,g):=|f(x_{0})-g(x_{0})|$ où $x_{0}\in X$ est fixé.	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton.
La tribu ${\mathcal {A}}$ d'un espace mesuré $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie.	$d(A,B):=\mu (A\Delta B)$ où $\Delta$ désigne la différence symétrique.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn.
La tribu ${\mathcal {A}}$ d'un espace mesuré $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie.	$d(A,B):={\frac {\mu (A\Delta B)}{\mu (A\cup B)}}$ si $\mu (A\cup B)\neq 0$ et $d(A,B):=0$ sinon.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus.

Cas particuliers

• Si $\mathrm {d}$ est un écart sur un ensemble $E$, alors $\min(1,\mathrm {d} )$ est une pseudo-distance sur $E$.
• Si $p$ est une semi-norme sur un espace vectoriel $V$, alors $\mathrm {d} \left(x,y\right):=p\left(x-y\right)$ est une pseudo-distance sur $V$. Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiques

La topologie pseudo-métrique associée à une pseudo-distance $\mathrm {d}$ est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

$B_{r}\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm {d} \left(p,x\right)<r\}$.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T₀.

Identification métrique

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

$x\sim y\iff \mathrm {d} \left(x,y\right)=0$,

et l'on obtient une distance $\mathrm {d} ^{*}$ sur $E^{*}=E/\sim ~$ en posant :

$\mathrm {d} ^{*}\left(\left[x\right],\left[y\right]\right)=\mathrm {d} \left(x,y\right)$.

La topologie de l'espace métrique $(E^{*},\mathrm {d} ^{*})$ est la topologie quotient de celle de $(E,\mathrm {d} )$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
• (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997, 883 p. (ISBN 978-0-08-053299-8, lire en ligne)
• Laurent Schwartz, Cours d'analyse, vol. 2, Hermann, 1981, 475 p. (ISBN 978-2-7056-5765-9)
• (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 34

Voir aussi

• Espace métrique
• Espace quasi-métrique
• Espace uniforme