En mathématiques, un espace de longueur est un espace métrique particulier, qui généralise la notion de variété riemannienne : la distance y est définie par une fonction vérifiant une axiomatique la rendant proche de l'idée concrète de distance. Les espaces de longueur ont été étudiés au début du XXe siècle par Busemann (en) et Rinow (en) sous le nom d'espaces métriques intrinsèques, et réintroduits plus récemment par Mikhaïl Gromov.

Structures de longueur

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Soit X un espace topologique. Une courbe dans X est une application continue  , où I est un intervalle de  .

Une structure de longueur sur X est la donnée d'un ensemble   de courbes (dites admissibles) et d'une application   vérifiant les propriétés suivantes :

  • si c est constante,  
  • Juxtaposition : si   et   sont admissibles et telles que  

et si   est la courbe obtenue en faisant suivre   par  , alors   est admissible, et  

  • Restriction : si   est admissible, il en est de même de ses restrictions à tout sous-intervalle, et l'application   est continue.
  • Indépendance du paramétrage : si   est admissible, et si  , alors   est admissible et  
  • Compatibilité : pour tout x de X et tout   voisinage ouvert de x, il existe un   tel que toute courbe admissible   telle que   et   vérifie  .

Exemples

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  • Le cas modèle est évidemment celui de l'espace euclidien.

On prend pour courbes admissibles les courbes   par morceaux, et pour L la longueur usuelle.

  • Si on prend pour courbes admissibles les courbes   par morceaux de  

telles que

 

on obtient un exemple de structure de longueur de Carnot-Carathéodory.

Distance associée à une structure de longueur.

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Soit   la borne inférieure des   prise pour toutes les courbes admissibles joignant x et y. On définit ainsi une distance sur X (prenant des valeurs éventuellement infinies). La topologie associée à cette distance est plus fine que la topologie de départ.

Structure de longueur définie par une distance.

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Dans le cas du cercle unité, la distance d induite par la distance euclidienne est la longueur de la corde, tandis que   est la longueur de l'arc

Dans un espace métrique (X, d), on définit la longueur d'une courbe   comme la borne supérieure des sommes

 

prise pour toutes les subdivisions   de l'intervalle [a,b]. Pour les détails, voir l'article longueur d'un arc. On obtient ainsi une structure de longueur sur X (les courbes admissibles étant les courbes rectifiables). Si   est la distance associée à cette structure de longueur, on a  .

Exemple. Si (X, d) est le cercle unité du plan euclidien muni de la distance induite,   est la distance angulaire.

Attention. Il peut arriver que la topologie définie par   soit strictement plus fine que la topologie de départ.

Si on réitère cette construction à partir de  , la métrique ne change pas. Autrement dit  .

Les espaces de longueur

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Définition. Un espace métrique (X, d) est un espace de longueur si  . On dit aussi que (X, d) est un espace métrique intrinsèque.

Exemple. Une surface de l'espace euclidien, munie de la métrique induite, n'est pas un espace de longueur, à moins d'être totalement géodésique. Elle l'est si on la munit de la distance associée à la métrique riemannienne induite. C'est cette situation qui justifie la terminologie alternative de métrique intrinsèque.

Un espace de longueur est connexe par arcs et localement connexe par arcs. C'est pourquoi il existe des espaces topologiques métrisables qu'on ne peut pas munir d'une structure de longueur, comme l'ensemble des rationnels.

Un espace métrique complet est un espace de longueur si et seulement si il existe des « presque-milieux ». Autrement dit

Théorème. Soit (X, d) un espace métrique complet. C'est un espace de longueur si et seulement si, quels que soient x et y dans X et  , il existe un z tel que

 

On a aussi la version suivante du théorème de Hopf-Rinow.

Théorème. Soit (X, d) un espace de longueur localement compact et complet. Alors toutes les boules fermées sont compactes, et deux points quelconques x et y peuvent toujours être joints par une courbe de longueur d(x, y).

Bibliographie

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  • Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
  • Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

Articles connexes

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