Espace d'ordres

Un espace d’ordres est un concept mathématique qui généralise la notion d’ordre sur un ensemble. Il s’agit d’un couple formé d’un groupe multiplicatif d’exposant fini et d’un sous-ensemble fermé de son dual topologique qui vérifie certains axiomes.

Définitions

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant $2$, c’est-à-dire $\forall g\in G$, on a $g^{2}=1$ (on note $1$ le neutre).

On distingue un élément remarquable $-1$ de $G$, dit élément distingué. On munit $G$ de la topologie discrète.

On note ${\widehat {G}}=Hom(G,\mathbb {C} )$ le groupe topologique dual de $G$, qui est compact.

Par la nilpotence des éléments de $G$ que $Hom(G,\mathbb {C} )=Hom(G,\mathbb {Z} _{2})$ avec $\mathbb {Z} _{2}=\{1,-1\}$ vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide $X\subset {\widehat {G}}$.

Le couple $(X,G)$ est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés :

${\mathcal {O}}_{1}$ $X$ est un fermé de ${\widehat {G}}$

${\mathcal {O}}_{2}$ $\sigma (-1)=-1,~\forall ~\sigma \in X$

${\mathcal {O}}_{3}$ $\sigma (g)=1,~\forall ~\sigma \in X\Rightarrow g=1$.

L'axiome ${\mathcal {O}}_{3}$ est dit axiome de séparation, i.e. $X$ sépare les éléments de $G$.

Exemples

Dans le cas où $G$ est le groupe multiplicatif $\mathbb {Z} _{2}=(\pm 1,\times )$.

L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial $E$ constitué d'un seul élément.

Bibliographie

• (en) Carlos Andradas, Ludwig Bröcker et Jesus M. Ruiz, Constructible Sets in Real Geometry, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (n^o 33), 1996, 3^e éd., 270 p. (ISBN 3-540-60451-0), p. 85-123, chapitre IV : Spaces of Orderings
• (en) Murray A. Marshall, Spaces of Orderings and Abstract Real Spectra, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1636), 1996
• (en) Murray Marshall, « Classification of Finite Spaces of Orderings », Canad. J. Math., vol. 31,‎ 1979, p. 320-330 (lire en ligne)