Espace bidual

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, on définit l'espace bidual de l'espace vectoriel E comme étant l'espace dual E** de l'espace dual E* de E.

Application linéaire canonique

Dans la suite, on considère un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

Il existe une application linéaire canonique i_E de E dans son bidual, associant à un vecteur x de E la forme linéaire $x^{**}$ sur E* définie par $x^{**}(h)=h(x)$ pour toute forme linéaire h sur E. Autrement dit :

$i_{E}:\left\{{\begin{array}{lll}E&\to &E^{**}\\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lll}E^{*}&\to &K\\h&\mapsto &h(x).\end{array}}\right.\end{array}}\right.$

En d'autres termes, l'application linéaire i_E associe à tout vecteur x de E l'application x** dans E** qui évalue en x les formes linéaires sur E.

Dimension finie

Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, i_E est un isomorphisme (voir Base duale) donc E est canoniquement isomorphe à son bidual, ce qui permet en pratique de les identifier.

Dimension infinie

En dimension infinie, l'axiome du choix permet de montrer que cette application i_E est injective, mais i_E n'est jamais surjective. En effet, le théorème d'Erdős-Kaplansky implique que la dimension de E** est strictement supérieure à celle de E.

Construction fonctorielle

La construction de i est fonctorielle^{[réf. nécessaire]} dans le sens suivant. La fonctorialité est plus précise que la « canonicité ». La fonctorialité pour les isomorphismes $f$ signifie l'indépendance vis-à-vis du choix d'une base.

Pour toute application linéaire $f:E\to F$, on a l'application duale $f^{*}:F^{*}\to E^{*}$ et donc une application biduale $f^{**}:E^{**}\to F^{**}$. Alors les applications $i_{E}:E\to E^{**}$ et $i_{F}:F\to F^{**}$ vérifient $i_{F}f=f^{**}i_{E}$. Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire.

Lorsque E est un espace vectoriel topologique, on prendra garde à l'existence d'une autre notion de dualité (puis de bidualité), qui prend en compte la structure supplémentaire ; on se réfèrera à l'article Dual topologique, et plus spécifiquement à la section intitulée « Bidual (topologique) ».