Ensemble sans somme

En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble $A$ d'un groupe abélien noté additivement est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles $A\oplus A=\{a+b\mid a,b\in A\}$ est disjointe de $A$. De manière équivalente, $A$ est sans somme si l'équation $a+b=c$ n'a pas de solution avec $a,b,c\in A$.

Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme de l'ensemble des entiers ; de même, si n est un entier naturel pair, l'ensemble {n/2 + 1, … , n} est un sous-ensemble sans somme de {1, … , n}.

Concernant ces ensembles, on peut se poser la question suivante :

Quel est le nombre $a_{n}$ de sous-ensembles sans somme de {1, … , n}, pour un entier n ?

$a_{n}$ est trivialement $\geqslant n+1$ puisque l'ensemble vide et les singletons sont sans somme.

Les premières valeurs en commençant à $n=1$ sont :

2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954,..., suite A007865 de l'OEIS.

Par exemple, $a(3)=6$, car hormis le vide et les singletons, seuls $\{1,3\}$ et $\{2,3\}$ sont sans somme.

Ben J. Green a montré que la réponse asymptotique est O(2^n/2), comme suggéré dans la conjecture de Cameron-Erdős.

Alexander Sapozhenko a montré plus précisément que le nombre est ∼ c₀ 2^n/2 si n est pair, et ∼ c₁ 2^n/2 si n est impair, où c₀ et c₁ sont des constantes.

D'autres questions ont été posées et examinées :

• Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme dans un groupe abélien ?
• Quelle est la taille maximale d'un sous-ensemble sans somme dans un groupe abélien ?

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sum-free set » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Suite sans somme

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Sum-Free Set », sur MathWorld