Discussion:Trigonométrie de Wildberger

Quel est le français pour "spread" ?

J'utilise "ouverture" en attente du terme français officiel destiné à traduire "spread", parce que c'est ce qui me paraît le moins mauvais. SI vous êtes mathématicien francophone, n'hésitez pas à le changer !

Une section serait utile pour montrer comment on manifeste l'impossibilité de trisection de l'angle ou de doublement du carré en utilisant cette trigonométrie. 81.65.27.14 19 septembre 2005 à 11:04 (CEST)

Je ne suis pas mathématicien, mais je crois que le terme exprimant le mieux cette notion est "envergure". On le retrouve dans certains documents sur le sujet. De plus, il s'agit d'une traduction valide du mot (cf. dictionnaire Oxford Français-Anglais). Vincent Palmieri (d) 15 mai 2008 à 21:45 (CEST)

Remarques

Ceci m'est un sujet d'interêt mais pas de compétence. J'ai néanmoins réécrit l'intro pour corriger quelques erreurs de fait et suivre le style de la Wiki, mais l'article actuel se fixe sur l'informatique au détriment de tous les autres sujets auxquels ces idées pourraient être appliqués, et même l'explication de la trigonométrie de Wildberger elle-même. JiKri 20 septembre 2005 à 02:46 (CEST)

J'ai juste touché un mot des applications qui m'en semblaient évidentes. Je ne sais pas s'il en existe d'autre, mais j'ai posé la question à tout hasard en news:fr.sci.maths . François-Dominique2 22 septembre 2005 à 15:47 (CEST)

J'ai eu l'occasion de m'intéresser il y a 35 ans à une trigonométrie "rationnalisée" pour aider des apprenants à faire du graphique avec un Logo sans arithmétique flottante. D'où sin 45° = 70/99 environ... çà marchait très bien (au pixel près). Je me pose maintenant la question : la famille des angles ayant VRAIMENT des lignes trigonométriques rationnelles est-elle dense dans la famille des angles quelconques ? Ces angles me semblent former une infinité dénombrable, puisque chacun serait en rapport avec un triplet pythagorique, non ? A vous lire...

Restrictions

Il serait sain d'indiquer qu'une trigonométrie ne permettant même pas par exemple de déterminer l'intersection de deux cercles n'a à peu près aucun intérêt, et que prétendre cette "théorie" révolutionnaire n'est qu'une grosse arnaque de Wildberger pour vendre son livre. Penser pouvoir chasser les irrationnels de la géométrie euclidienne, c'est ne pas avoir compris le théorème de Pythagore et revenir des millénaires en arrière ! Bref, un crank de plus. -- Un mathématicien de passage.

Je vous trouve bien sévère avec Wildberger, mais c'est probablement parce que l'article n'est pas clair : sa trigonométrie ne fait intervenir que des rationnels si (et seulement si ??) toutes les grandeurs du problème (quadrance et spread), y compris les inconnues recherchées, sont rationnelles. D'une manière générale, elle fonctionne dans la tour d'extension quadratique de $\mathbb {Q}$, ce qui me semble loin d'être absurde, et n'a donc aucune difficulté à calculer l'intersection de deux cercles. R 7 février 2006 à 17:06 (CET)

Sévère mais juste j'en ai peur : quand on lit dans le titre d'un livre de mathématiques les mots "divine" et "universal", et que l'auteur présente sa théorie comme révolutionnaire, on a de quoi être inquiet. D'ailleurs, ça fait six ans qu'il l'a publié, et je ne vois toujours pas la révolution. Un autre gars de passage Bdc43 (d) 15 février 2011 à 16:41 (CET)

Trogonométrie et mesure des angles

Wildberger systématise une recette de calcul employée par tout mathématicien.

D'ailleurs, à sa place, j'aurais remplacé sa définition de "spread" par la longueur (sans carré) de la corde qui sous-tend l'arc. D'une part, cela correspondrait très exactement à la technique de rendre rationnel les lignes trigonométriques en remplaçant un angle par l'angle moitié ($\scriptstyle \sin \ 2t={\frac {2u}{1-u^{2}}}$ et $\scriptstyle \cos \ 2t={\frac {1+u^{2}}{1-u^{2}}}$).

Cela correspondrait aussi à la tradition historique, puisque le sinus. cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécantes ont été introduits par les arabes au XIIIème siècle. La seule ligne trigonométrique connue des grecs était la corde, définie comme la longueur de la corde qui sous-tend un arc, qui dépendait rationnellement du "spread".

Si la démarche de Wildberger été progressivement abandonnée au fur et à mesure que les mathématiciens trouvaient les formules d'addition et de duplication d'arcs nettement plus simple que les formules d'addition et de duplication de cordes.

Elle a été définitivement abandonnée lorsqu'il a fallu faire le point en mer avec le sextant et le compas, à l'époque des grandes découvertes. La trigonométrie dans l'espace (que Ptolémée calculait avec les cordes des arcs) à d'ailleurs fait l'époque l'objet d'un secret d'Etat jalousement gardé.

Sur un autre plan, les sinus et cosinus engendrant l'espace des solutions de l'équation différentielle : $\scriptstyle y''=y$. Ils sont donc devenus des objets indispensable à la résolution des équations différentielles à partir du second ordre. A ce sujet, il est intéressant de rappeler que le radian est la seule unité d'angle pour laquelle $\sin 'x=\cos x$. Les fonctions sinus et cosinus en degré ou en grades sont dérivable, mais font apparaitre un coefficient de proportionnalité dans tous les calculs.

Un autre argument est d'ordre plus fondamental. La mesure des angles, comme toute mesure, se doit d'être est additive. C'est cette propriété qui permet de caractériser une rotation (dans l'espace ou le plan) par un angle, tel que la composée des rotation soit la somme des angles. Ou, ce qui revient au même, la somme des arc d'un cercle de référence par la somme des angles au centre. Les angles apparaissent donc comme un groupe (de Lie) de dimension 1. Or, il n'existe que très peu de groupes de dimension 1 : le groupe R des réels et son quotient R/Zpar un sous-groupe discret.

On peut évidement, à ce stade, réinventer la roue (si j'ose dire) et introduire des fonctions qui vérifient les formules d'addition d'arc, mais il est finalement plus simple de suivre les traces de de Moivre et de plonger R dans le plan complexe C ce qui identifie $\scriptstyle \cos t+i\sin t=e^{it}$ et de déduire le calcul trigonométrique. Les formules d'addition d'arc y sont particulièrement simples, puisqu'elles ne sont que la traduction sur les coordonnées de l'homomorphisme de (R,+) sur (C,x). Rappelons ici, que cet isomorphisme à une interprétation importante en théorie des groupes de Lie, puisque c'est LA projection naturelle du groupe sur son espace tangent.

En résumé, la démarche de Wildberger a déjà été explorée à plusieurs reprises dans le passée pour être chaque fois abandonnée au profit de la théorie actuelle qui est celle d'une mesure des angles additive, qui donnaie par la fonction exponentielle sur le seul groupe de Lie cyclique, les formules d'addition d'arcs qui permettent de passer à trigonométrie sphérique. Alain.Debecker (d) 4 décembre 2008 à 16:56 (CET)

Au plan pratique

Il est toujours intéressant de rappeler que la pauvreté des moyens de calcul n'est pas forcément un obstacle, et qu'il peut suffire que pi se manifeste sous la forme 355/113, ou 2^1/2 comme 99/70, ou sin 60° comme 13/15... Mais si on doit rester au niveau de l'arithmétique entière, même la règle de trois doit alors inciter à la prudence.

On pourrait peut-être, à titre d'exemple, montrer l'application ce cette trigonométrie à un triangle connu par ses 3 côtés?

Lf69100 (discuter) 5 juillet 2014 à 16:13 (CEST)