Discussion:Nombre premier/Bon article

Cet article a été rejeté au label Bon article en vertu de ce vote.
Merci de remplacer ce modèle par {{Instructions pBA}} si le vote est remis en cause.

Article rejeté.

• Bilan : 13 bon article, 8 attendre/contre, 1 autre(s) vote(s).
• Commentaire : moins de 5 votes  Bon article et/ou (bon article) / (bon article + attendre) = 62% ≤ 66%

Sardur - allo ? 27 février 2009 à 00:01 (CET)

Nombre premier

Proposé par : Darkbowser (d) 12 février 2009 à 12:20 (CET)

Bien illustré, complet et utile à tous les niveaux.

Votes

Format : Motivation, signature.

Bon article

2.  Bon article J'ai proposé Darkbowser (d) 12 février 2009 à 12:22 (CET)
3.  Bon article Très bel article sur un sujet difficile. J'ai quelques remarques, mais trop mineurs pour ne pas justifier d'un label Jean-Luc W (d) 12 février 2009 à 16:46 (CET)
4.  Bon article Très bon article et, en effet, sur un sujet abstrait, les liens rouges en bibliographie sont peu harmonieux mais c'est une broutille. --Prosopee (d) 12 février 2009 à 17:01 (CET)
5.  Bon article Un bel encouragement pour le Portail:Mathématiques. Vyk (café) 12 février 2009 à 17:32 (CET)
6.  Bon article Très bel article. Pmpmpm (d) 12 février 2009 à 19:56 (CEST)
7.  Bon article --Christophe Dioux (d) 13 février 2009 à 22:36 (CET)
8.  Bon article Ivoire8 (d) 13 février 2009 à 22:36 (CET)
9.  Bon article le béotien y a trouvé ce qu'il attendait d'un BA -- MICHEL (d)'Auge le 16 février 2009 à 16:29 (CET) vérifie quand même mes deux modifs
10.  Bon article Moyen--Vive la France 18 février 2009 à 21:21 (CET)
11.  Bon article le non béotien (bon ... un petit peu quand même) s'y retrouve également. Beau travail. Ascaron ¿! 24 février 2009 à 16:45 (CET)
12.  Bon article Giovanni-P (d) 24 février 2009 à 17:26 (CET)
13.  Bon article Ce serait quand même mieux d'éviter de donner des exemples dans l'intro pour expliquer ce qu'est un nombre premier. Il faudrait faire une bonne définition claire mais sans exemple. Les exemples, c'est dans le corps de l'article selon moi... Sylfred1977 (d) 24 février 2009 à 20:17 (CET)
14.  Bon article -- Fantafluflu (d) le 25 février 2009 à 12:06 (CET)

Attendre

2.  Attendre Désolé, mais compte tenu de l'affluence de "Pour" sans motivation pendant que plusieurs contributeurs travaillent à améliorer l'article, je viens apposer un vote ici, histoire que les passants voient facilement qu'il y a débat. Pour être rapide : au moins deux sections ne sont pas du tout au niveau requis, alors que beaucoup d'autres sont excellentes ; à savoir celle d'histoire ancienne et l'énumération désordonnée de conjectures. Il faut au moins que ces deux problèmes soient réglés. Touriste ✉ 13 février 2009 à 23:05 (CET)

   Vous avez emmené avec vous 4 votes Attendre, je pense que c'est suffisant pour voir qu'il y a un débat. Si vous êtes pour la proposition, n'hésitez pas à changer votre vote, si vous passez par là... Darkbowser (d) 16 février 2009 à 14:20 (CET)

   Je suis là, je suis là... Mais je pense toujours qu'il faut attendre, même si l'article est assez avancé pour qu'il soit réaliste d'espérer qu'il soit mis au niveau avant la fin de la période de vote. Le choix était simplement de mettre mes critiques en bas, et d'attendre la fin du mois pour voter, ou de voter tout de suite. En fait et a posteriori se retenir de voter « attendre » par vague politesse quand on pense que c'est le bon vote n'est pas judicieux, cf. notre conversation présente ; j'en retiens que quand je pense que ce n'est pas au point il faut que je le dise tout de suite et je ferai comme ça systématiquement dans l'avenir. Touriste ✉ 16 février 2009 à 15:06 (CET)

3.  Attendre Visiblement un petit peu tôt. Gemini1980 oui ? non ? 14 février 2009 à 01:40 (CET)
4.  Attendre pour que Touriste ait le temps de procéder à ses améliorations. ---- El Caro ^bla 14 février 2009 à 08:44 (CET)

   (Mette là un smiley qui va bien). Non pas sur cet article, je ne compte pas m'y investir désolé, je laisse ça à ceux qui connaissent bien le sujet et y sont déjà plongés. Touriste ✉ 14 février 2009 à 09:35 (CET)

5.  Attendre D'accord avec Touriste, l'article possède une belle marge d'amélioration (mise en page, références...) malgré sa bonne tenue. FR ^{¤habla con él¤} 15 février 2009 à 20:56 (CET)
6.  Attendre Je n'ai pas participé à la rédaction, je découvre seulement l'article, j'ai immédiatement plusieurs critiques à lui faire (voir plus bas). --Fr.Latreille (d) 16 février 2009 à 00:06 (CET)
7.  Attendre Il y a eu des efforts visibles, mais l'article est trop incomplet sur plusieurs aspects. Tout d'abord, il n'est pas à jour, il manque de très nombreux développements et les références en restent vraiment trop à de l'introduction. La partie sur les applications est totalement insuffisante : on ferait même face au problème contraire où cette partie pourrait prendre trop d'ampleur, alors qu'ici on ne traite grosso modo que de cryptographie. Il y a de nombreuses structures où les nombres premiers jouent un rôle et ces structures s'emploient. Il faut lire (en) The Little Book of Bigger Primes et The Prime Distribution; les actes de l'académie hongroise ont aussi des documents intéressants. Pour Keller, utiliser sa thèse comme référence. Philippe Giabbanelli (d) 23 février 2009 à 05:06 (CET)
8.  Attendre Bien qu'on soit à discuter du label "bon article " et pas du label AdQ, il y a trop de points à améliorer. 2 exemples : une intro trop longue et pas assez synthétique, un historique qui s'arrete à l'antiquité, .... Les axes d'améliorations sont nombreurx (voir les articles sur en: et de: ), j'espère une bonne évolution avant la fin du vote pour changer d'avis. --Zen 38 (d) 25 février 2009 à 14:04 (CET)
9.  Attendre Plusieurs paragraphes, voire sections, sans la moindre source. - Boréal (:-D) 26 février 2009 à 23:24 (CET)

Neutre / autres

1. avis J'aime bien l'article pour l'effort de concision et de vulgarisation sur les parties faciles. Sur la forme, je pense qu'il reste quelques détails de mise en forme : la boîte de navigation latérale en bas d'article ne ressemble pas à ce que l'on trouve sur d'autres articles de Wikipédia ; certaines formules sont écrites à la main (le polynôme de Sato et al. qui, au regard du reste de l'article très synthétique, est de l'anecdotique et pourrait être viré : un lien suffit) alors que la balise <math> est faite pour ça ; une sous-section unique « Cryptographie à clé publique » dans la section « Applications » (n'y a-t-il pas d'autres applications ?!?) ; je ne vois pas en quoi les portraits de Fermat ou de Marsenne apportent quoi que ce soit à l'article (faire joli, certes, mais ce n'est pas le but d'un article...). Sur le fond, c'est intéressant mais : « Questions ouvertes » est en foutoir, « Nombres premiers particuliers » ne liste que les plus élémentaires ce qui fait que je n'ai rien appris (pourquoi rien sur nombre premier factoriel et nombre premier primoriel, sans compter un tas d'autres que je viens de découvrir dans Nombre premier ?), « Éléments historiques » fait l'impasse sur tout ce qui s'est passé depuis Euclide... au fait, pourquoi ne pas déplacer la section « Structures algébriques, topologiques, et nombres premiers » qui est assez technique pour laisser le lecteur profane profiter des sections « Nombres premiers particuliers » et « Algorithmique : calcul des nombres premiers et tests de primalité » ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 200.77.148.188 (discuter)

   Et c'est dommage qu'il n'y ait pas de lien vers test de primalité avant les annexes, alors même que le sujet est traité. — Le message qui précède a été signé^? par 200.95.227.109 (d) 25 février 2009 à 18:51 (CET) :-p

Discussions

Toutes les discussions vont ci-dessous.

Polynôme de Matijasevic

C'est moi, ou le paragraphe concernant ce polynôme est assez incompréhensible ? Par exemple : conduisant à l'existence de polynôme qui prennent aux valeurs entières positives des variables comme valeurs les nombres premiers ou comme les ensembles de valeurs prises par un polynômes (à plusieurs variables) à coefficients entiers en les entiers strictement positifs. J'essaierais de rendre ce paragraphe plus clair, si je ne suis pas le seul à ne pas comprendre. De plus, il n'est pas clairement indiqué que ce polynôme ne permet pas de générer simplement et efficacement la liste des nombres premiers : à la lecture on croit qu'il suffit de balayer avec des entiers les variables pour générer tous les nombres premiers.

A part cela l'article me semble mériter globalement le BA, mais je n'ai pas encore tout relu attentivement. --Jean-Christophe BENOIST (d) 12 février 2009 à 16:49 (CET)

Bon. Malgré l'absence de réactions et d'intérêt (?) pour ce problème, j'ai pris sur moi de clarifier ce paragraphe. --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 09:53 (CET)

Salut, en fait, j'avais répondu plus bas. Mais tu as changé le sens du texte :tu dis :

de tels ensembles peuvent être caractérisés comme les ensembles de valeurs strictement positives prises par un polynôme (à plusieurs variables) dont les coefficients et les variables sont des nombres entiers.

alors qu'il était dit :

de tels ensembles peuvent être caractérisés comme les ensembles de valeurs prises par un polynômes (à plusieurs variables) à coefficients entiers en les entiers strictement positifs.

Ce n'est pas la même chose, la modification est-elle volontaire ? Salle (d) 13 février 2009 à 10:16 (CET)

En fait, je ne comprends pas la seconde phrase, qui me semble avoir un problème de syntaxe, et c'était l'objet de ma remarque. Il se peut que le sens soit différent. Mais il me semble que ce que j'ai écrit est correct, non ? Mais si je suis le seul à ne pas comprendre la phrase originelle, pas de problème pour y revenir . D'autre part, j'ai vu plus bas qu'il y a débat sur la nécessité de mentionner ce polynôme. J'y suis pour ma part favorable. Je pourrais développer mes arguments s'il y a réelle polémique sur ce point. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 10:37 (CET)

Pour moi, on prend un polynôme à coefficients entiers ; on considère l'ensemble des images par ce polynôme non pas de tous les nombres entiers, mais de tous les entiers positifs ; et c'est un ensemble diophantien. La condition de positivité porterait donc sur les antécédents, pas sur les images ; autrement dit, tu parles de quelque chose de la forme $P(\mathbf {Z} )\cap \mathbf {N}$ quand je parle de $P(\mathbf {N} )$. Je mets un conditionnel parce que je n'en sais rien ; j'avais dû trouver ça dans le Ribenboim et je n'ai pas de source pour vérifier. En fouillant un peu sur internet, j'ai trouvé des notes d'exposé de Matiyasevitch qui vont dans mon sens [1], au niveau de l'équation 10 (et de 15 à 19 aussi).

Ok, je comprends. Je vérifie dès ce soir dans le Delayahe sur les nombres premiers. En fait, effectivement les antécédent sont forcément positifs, et les images positives ou négatives, mais on ne garde comme résultat que les images positives (selon mon souvenir). A suivre ce soir. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 13:31 (CET)

Je confirme les antécédent sont forcément positifs, et les images positives ou négatives, mais on ne garde comme résultat que les images positives. La condition de positivité est aussi sur les images. Il est vrai qu'il n'est pas précisé dans l'article que les antécédents sont seulement les entiers positifs, mais cela n'a pas une importance fondamentale, et je ne trouve pas de moyen de le dire sans alourdir et obscurcir la phrase dans l'article. Mais si quelqu'un trouve une bonne tournure.. --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 19:43 (CET)

Pour moi, il existe une faiblesse plus grave dans ce paragraphe. La question des formules générant des nombres premiers est importante, comme le fait remarquer Delayahe ou Du Sautoy ce polynôme est sympathique, mais très au bord de l'arnaque (ça marche jamais pour trouver effectivement un nombre premier) et surtout très anecdotique comparé à tout ce que l'on peut dire sur cette question. Cette erreur n'est généralement pas commise dans les autres paragraphes. Jean-Luc W (d) 13 février 2009 à 16:06 (CET)

Je ne défendrais pas ce polynôme au delà d'un certain point. C'est effectivement mineur. Cela dit, ce polynôme comment à être relativement célèbre, et il est nécessaire à mon sens, dans un bon article, d'en parler pour justement le démystifier. J'ai d'ailleurs ajouté les compléments en ce sens. Mais tout cela est assez subjectif, et il faut voir quel serait le consensus de la communauté à ce sujet. --Jean-Christophe BENOIST (d) 13 février 2009 à 19:43 (CET)

L'explication de cette définition curieuse est l'astuce suivante : la définition habituelle de sous-ensemble de N diophantien c'est solution d'une équation diophantienne avec paramètres. Une telle équation peut s'écrire P(x,a)=0 (x inconnue, a paramètres). Ses solutions strictement positives sont les images strictement positives par (x,a) -> (1-P^2(x,a))x à valeurs dans N (seule possibilité P = 0, car x est positif, c'est donc important aussi). Ceci explique la présentation du polynôme qui est surprenante sans explications (cf. rmq de Touriste ci-dessous) : il fait aussi apparaître un système de 14 équations diophantiennes avec paramètres dont l'ensemble des nombres premiers est solution (il y a juste un décalage de 2).

Ce polynôme fournit une illustration des constructions à l'oeuvre pour le théorème de Matiiassevitch. N'importe quel ensemble récursivement énumérable (a fortiori décidable comme l'ensemble des nombres premiers) a une telle représentation. L'ensemble des nombres premiers a une définition suffisamment simple pour que l'on puisse écrire effectivement le polynôme (et pas trop pour que l'on ait vraiment besoin des arguments du th. de Matiiassevitch). Du point de vue des nombres premiers c'est effectivement anecdotique.

Je trouve assez gênante la présentation : on n'a pas recherché spécialement à représenter les nombres premiers de cette façon, c'est arrivé plutôt comme illustration (un peu "spectaculaire") du résultat de Matiiassevitch. Je suis assez d'accord avec l'aspect "arnaque", mais il est dû à la présentation de l'article wikipedia, il n'a jamais été dans l'intention des concepteurs de fabriquer une formule pour engendrer efficacement les nombres premiers.

Dans le même ordre d'idée j'aimerai en savoir plus sur le résultat négatif sur les polynômes qui précède : qui est l'auteur ? spécifique aux nombres premiers ou y-a-t-il un résultat plus général ? ... Proz (d) 14 février 2009 à 17:34 (CET)

Moi aussi : cette phrase sur les résultats négatifs me parait sujette à caution, et n'est pas très claire, à vrai dire je ne la comprends pas. De plus, on peut croire (je l'avais comprise ainsi) que ce résultat négatif rend impossible de trouver une formule pour les nombres premiers. Or (Delahaye p.194) « Notons qu'aucun résultat théorique négatif n'interdit l'existence d'une formule numériquement exploitable, ou - ce qui revient au même un programme efficace -, qui donne des nombres premiers, voire qui les donne tous et dans l'ordre ». Je traduit numériquement exploitable par polynomial, car il est bien connu que les complexités exponentielles ou factorielles sont inexploitables. Sans plus de précision, je pense que cette phrase est à ôter, et à remplacer par la remarque de Delahaye --Jean-Christophe BENOIST (d) 17 février 2009 à 21:35 (CET)

Je traduis :  « menant au résultat négatif qu'un polynôme à coefficients complexes, même à plusieurs variables, dont les valeurs aux entiers naturels ont pour valeur absolue des nombres premiers, est un polynôme constant. » -> il n'existe pas de polynôme non constant à coefficients complexes dont les valeurs aux entiers naturels ont pour valeur absolue des nombres premiers (ce qui me semble assez clairement un résultat négatif). Voir la réf (Ribenboim). Mais, encore une fois, il s'agit d'un paragraphe que j'avais repris d'une ancienne version de l'article, en coupant largement, mais pas trop pour ne pas vexer d'anciens contributeurs, et en sourçant à partir d'un livre qui n'est pas ma tasse de thé : si aujourd'hui, on veut se débarrasser de cette section, très bien pour moi. Salle (d) 17 février 2009 à 22:28 (CET)

Je ne vois pas quel pourrait être l'intérêt calculatoire d'une formule qui donne les nombres premiers (à moins que ce ne soit sans répétition et dans l'ordre), ça dit juste que c'est récursivement énumérable alors que c'est décidable, on perd forcément. S'il y a un intérêt il est ailleurs. C'est plutôt sur la phrase d'introduction que j'ai un doute, mais tel qu'il est écrit j'avais compris le résultat négatif comme Salle. Ma question c'est plutôt, si c'est bien ce résultat, quelle est sa portée ? Quelqu'un s'est vraiment posé cette question ? Pourquoi ? Est-ce une simple remarque à propos du résultat suivant ? Cela mérite-t-il d'être cité ? Le but serait de réécrire le paragraphe (pour la partie "Matiiassevitch" je vois à peu près comment faire, dans le style de ce que j'ai écris au dessus). On peut aussi estimer qu'il faut supprimer la section ce qui simplifie. Proz (d) 19 février 2009 à 21:23 (CET)

Questions de Vyk (d · c · b)

Dans l'introduction, il est indiqué qu'un et zéro ne sont pas nombres premiers. Ne faudrait-il pas expliquer « pourquoi » ou c'est inutile ? Vyk (café) 12 février 2009 à 17:08 (CET)

J'ai remarqué que la WP en allemand le fait. Pour ma part, il me semble que ça encombrerait l'article, on doit aller à l'essentiel. Ça aurait sa place dans un hypothétique article détaillé (pas bien long mais y'a sûrement des choses à dire quand même Définition des nombres premiers) Touriste ✉ 12 février 2009 à 17:14 (CET)

D'accord avec Touriste, à mon avis, il faudrait indiquer que la définition est choisie de manière à ce que la décomposition en facteurs premiers soit unique, mais c'est tout. Jean-Luc W (d) 12 février 2009 à 17:46 (CET)

Ne faudrait-il pas mettre ces cas et d'autres de l'intro (notamment la liste des nombres premiers inférieurs à 100) dans une première section "exemples" ? ---- El Caro ^bla 12 février 2009 à 18:03 (CET)

Remarques de Touriste

J'ai fait un survol cursif et je fais le pronostic que je voterai « Pour » dans quelques jours, mais bon attendons d'avoir lu avant de voter quand même, c'est plus propre. J'énumère en vrac quelques reproches que je fais à l'article, comme ils me viennent à l'esprit et sans les hiérarchiser (certains ne sont pas sérieux du tout et ne m'empêcheraient pas de voter "Pour" mais bon si ça peut être réparé...)

• Le polynôme de Jones, Sato, Wada et Wiens, compte tenu des retours chariots, s'affiche comme une abomination sur l'écran que j'ai sous les yeux (on va à la ligne après le 1 du début...). Il faut imaginer une méthode pour le présenter sans cet effet visuel déplorable (image d'un truc produit avec de la typographie plus professionnelle que l'ignoble LaTeX revu MediaWiki ?)

• La phrase « Les nombres premiers interviennent aussi dans les structures topologiques. » et le paragraphe qui suit sur les p-adiques me semble manquer de professionnalisme. L'invocation des « structures topologiques » dans le sommaire donne un poids au mot "topologique" qui me semble disproportionné : les p-adiques sont certes un espace topologique puisque métrique, mais ce sont d'abord un outil arithmétique ; mettre en relief la topologie ne me semble pas adroit.

• La partie « Citations », ben je suggèrerais personnellement de la virer complètement. Pourquoi ces deux là ? Y'a Wikiquote pour ceux qui aiment ça (et de toutes façons celle d'Erdös devrait être sourcée).

• Plus sérieuse celle-là : je m'aperçois que le niveau élémentaire d'étude (la définition tout simplement, la décomposition en produit de facteurs premiers) est faite dans le résumé introductif. Ce n'est pas raisonnable : ça devrait être l'objet d'une partie du plan plutôt au début. Sur :en je constate après avoir écrit la phrase qui précède que la décomposition en produit de facteurs premiers est mise en relief par une section courte mais autonome du plan et sans aller forcément jusque là ça va dans le sens que je préconise. Touriste ✉ 12 février 2009 à 17:23 (CET)

• « qui prennent ainsi à leur tour l'appellation d'arithmétique » dans l'intro. Pourquoi signaler ça ??? Essentiellement HS ici, concerne peut-être l'article Arithmétique.

• J'ai fait une prise de notes en direct en lisant la partie "Histoire" qui donne un résultat épouvantable et laisse croire à tort que c'est la fin de la civilisation occidentale. Ce n'était pas très adroit. Laissons un accès à ce que j'ai écrit via l'historique [2], (pour en tirer ce qui peut être constructif pour ceux qui travailleront à l'article) et résumons : la partie historique a besoin d'un bon coup de ménage, en l'état bof bof. Mais il y a le temps de la faire progresser !

Oups, c'est moi qui ai planté le contributeur avec de Du Sautoy. Non, il ne peut hélas pas sourcé l'os d'Ishango, si Du Sautoy est en effet un universitaire qui connaît bien son sujet, son livre n'est pas et ne peut pas être une référence universitaire, surtout sur l'os d'Ishango. Je m'en vais demain aider à sourcer cet excellent article. On peut en effet améliorer sans trop de difficulté la partie histoire. Avec un peu de bonne volonté, on peut corriger toutes les faiblesses que tu soulèves, pas de quoi fouetter un chat. Jean-Luc W (d) 12 février 2009 à 19:52 (CET)

L'os d'Ishango est ultra polémique : les interprétations qui en ont été faites l'ont été par des scientifiques, certes, mais dont aucun n'est historien des mathématiques. Pour en savoir plus, voir Mathématiques préhistoriques et Os d'Ishango, que j'ai essayé de neutraliser avec notamment : Préhistoire de la géométrie : le problème des sources qui ne mâche pas ses mots à ce sujet. ---- El Caro ^bla 12 février 2009 à 20:08 (CET)

Une critique que j'espère constructive

Ma première critique concerne l'équilibre de l'article. Le sujet est difficile car, rien que dans un livre de vulgarisation Du Sautoy en parle sur près de 500 pages. Il fallait donc se limiter au strict minimum c'est à dire uniquement à l'essentiel, sans pratiquement aucune digression. Cette philosophie a été remarquablement suivi, à mes yeux, avec peut-être un ou deux parti pris que je n'aurai pas suivi. Bravo, pour n'avoir pas céder à la tentation d'en mettre des tartines et pour avoir choisi judicieusement les thèmes.

• Les formules menant aux nombres premiers. L'idée clé que propose Du Sautoy et qu'il n'existe aucune formule connue à ce jour permettant de calculer des grands nombres premiers. Les ordinateurs peuvent calculer et stocker des nombres de plusieurs téra-octets, mais jusqu'à présent personne n'a trouvé de formule permettant de calculer des nombres premiers vraiment grands (il font quelques dizaines de méga-octets c'est tout). Cet axe me semble plus important que le polynôme un peu anecdotique dont les valeurs positives de variables entières sont toujours premiers (et puis ce polynôme a un coté un peu arnaque, c'est la croix et la bannière de trouver un nombre premier avec ce polynôme, presque toutes les valeurs sont négatives). Ici beaucoup de place est prise pour énoncer un résultat bien anecdotique à mes yeux. Ce résultat me semble moins important que le fait que le crible d'Eratosthène ne peut et ne pourra jamais faire des grands nombres premiers.

• La répartition des nombres premiers. Le rapport entre la fonction zêta et la répartition me semble explicite que ce qui devrait pouvoir être fait, il me semble que, sans pour autant quitter le choix judicieux de l'aspect didactique, on peut être plus précis sur cette délicate question. De manière plus générale, les nombres premiers jumeaux font partie de cette problématique de la répartition des nombres premiers.

• Sur les applications, ne serait-il pas judicieux d'expliquer pourquoi il est utile de faire des grands nombres premiers et de savoir comment les casser ? La question de casser un nombre, pour reprendre l'expression d'Erdos et la monstrueuse dissymétrie entre la difficulté de construire un nombre premier d'ordre de grandeur égal à 10ⁿ et la factorisation d'un nombre d'ordre de grandeur 10²ⁿ me semble mériter une explication, c'est la clé du succès de RSA.

• Je trouve une petite incohérence logique. L'ouverture en fin d'article sur la théorie algébrique des nombres me semble de bon aloi (court et simple). Si l'on passe aux idéaux (ce qui est logique), la généralisation du théorème fondamental, c'est l'unicité de la décomposition d'un idéal en produit d'idéaux premiers pour les anneaux de Dedekind, ce n'est pas le théorème chinois (voir l'article idéal fractionnaire). Fallait-il aller jusqu'aux nombres premiers réguliers, l'obstruction qui rend impossible une démonstration général de Fermat par la méthode de Kummer ? Je n'aurai pas fait ce choix, mais aurai-je eu raison ? Ce n'est pas clair.

• Enfin, dans la bibliographie j'aurai parlé de la symphonie des nombres premiers. De plus, j'aurai séparé en deux catégories les livres de type celui de Delahaye (vulgarisation pure), les livres très abordables comme le Demazure (pour généralistes qui connait un peu les maths) et les Hardy ou les Cohen qui sont un peu plus techniques (clairement au dessus du niveau de l'article, ce qui est normal sinon l'article serait réservé à une très très rare élite).

Que le non spécialiste ne se trompe pas. La critique essentielle concerne l'équilibre et elle est très favorable à l'article. Les autres sont, soit vénielles, soit procèdent de mon point de vue, différent de celui du contributeur de l'article, mais pas nécessairement meilleur. Que celui qui reprocherait à l'article de favoriser un point de vue (celui de la vulgarisation), je lui conseille vivement de lire ce que Hardy considérait comme une introduction au sujet pour comprendre que son point de vue n'avait effectivement pas sa place ici. Jean-Luc W (d) 12 février 2009 à 17:30 (CET)

Réponses

Tiens, je viens de voir cette proposition. Comme j'ai plus ou moins initié le plan actuel voici quelques réponses :

• d'abord, il faut bien voir que ce que j'avais fait en octobre 2007 avait eu pour buit de donner un semblant de structure à un article qui partait dans tous les sens et, dans lequel apparaissaient tout le temps des ajouts, disons, sauvages. Pour mémoire, voici la version avant remplacement.
• (Touriste) je n'avais pas alors entrepris d'écriture de la partie historique. Et je ne crois pas que cette partie ait été sérieusement traitée depuis ; mais bon, ça serait difficile à faire de toute manière : on présente des choses qui, au niveau où se place l'article sont assez indépendantes, il n'y a pas vraiment lieu de faire un historique commun qui serait par nature artificiel.
• (tous) pour la partie formules menant au nombre premier, vous remarquerez qu'il y a déjà eu un important élagage par rapport à ce qui existait avant. Si on est arrivé à maturité pour un élagage plus sévère, ça ne me soucie pas. Mais ce truc a un petit côté spectaculaire quand même, qui n'est pas désagréable (même si mon pov est aussi de le trouver anecdotique). Et j'aime bien mes formulations ; non, je plaisante, on doit sûrement pouvoir faire mieux, ; je devais être dans une période : « essayons d'écrire des maths sans formule ».
• (Touriste) pour les p-adiques. Outil arithmétique ? Moui, je ne suis pas si convaincu que l'aspect topologique ne soit pas primordial : ce qui compte, c'est souvent quand même de connaître toutes les complétions de Q pour pouvoir faire du local-global - que ce soit en arithmétique ou en géométrie (bon, en géométrie arithmétique, si vous voulez). Et la topologie sur les p-adiques est importante : voir l'analyse p-adique, et applications, par exemple la thèse de Berger [3] (juste pour discuter, pas comme source, hein ?).
• (Touriste) les citations, c'est un vieux reste : là, je suis tout à fait pour la suppression.
• (Jean-Luc) pour la partie Généralisation des nombres premiers : c'est une partie que j'avais laissée en plan, et le jour (récent) où j'ai enfin rempli avec mon laïus sur Kummer et compagnie, quelqu'un avait mis la remarque avec la définition d'idéaux et tout. Je l'ai laissée juste par politesse. Pour ce qu'il y a avant, je voulais juste montrer qu'on généralisait l'arithmétique dans d'autres anneaux pour résoudre des problèmes qui s'expriment sans algèbre sophistiquée ; mais qu'au passage se dégagent de nouvelles propriétés arithmétiques des nombres premiers rationnels. Je ne sais pas si j'y parviens.
• Sur les problèmes de répartition et d'analyse, je ne vais pas me mouiller plus. Claudeh5 avait déjà laissé entendre que ce que j'avais écrit, ce n'était quand même pas bien sérieux, et j'imagine qu'il remettra bien les choses au point quand il débarquera ici.
• (Touriste) pour une partie élémentaire ? d'accord, bien sûr.
• (Jean-Luc) plus de RSA ? d'accord, bien sûr.
• (Jean-Luc) rien à voir, mais j'en profite pour te rappeler qu'il y a eu une ébauche de discussion te concernant sur théorème de Wilson, section Démonstration de la pdd.

Pour tempérer ce que j'ai dit sur l'historique, il manque quand même un truc du style « les nombres premiers vus par les anciens ». On sait bien que mon biais personnel, c'est de raconter avec un point de vue moderne. Pour conclure, je m'étonne que personne n'ait encore relevé que la partie questions ouvertes est vraiment faite de bric et de broc. Salle (d) 12 février 2009 à 23:57 (CET)

Réponse de jl : A mes yeux, la généralisation des nombres premiers peut être améliorée. Kummer and co c'est bien, mais la définition est idéaux et le toutim c'est une erreur. Tu risques de décevoir les néophytes et en aucun cas tu séduis un pro (ils n'apprennent rien et sont frustrés des imprécisions). Je te préconise de suivre l'esprit de l'article : satisfaire les néophytes par cet article et les pro par un lien habile et c'est tout (je suis à ta disposition pour t'aider sur cette partie si tu le souhaites). Pour la dernière remarque, j'ai répondu à Salle ce matin, j'ai vais m'en occuper. Je pense que l'IP a raison.

Voilà, j'ai supprimé ce qui n'était pas de moi. Ce qui reste est à peu près dans mon goût ; si ce n'est pas dans le tien, tu as toute latitude pour modifier (évidemment). Salle (d) 13 février 2009 à 19:25 (CET)

Je réponds ici à Fr Latreille et El Caro.

• Pas d'accord sur la section sur les structures : le terme norme p-adique est expliqué, et les deux autres termes incriminés sont du vocabulaire généraliste. Sinon, ce paragraphe avait vocation à être le paragraphe d'introduction élémentaire. Si ça ne fonctionne pas, à retravailler.
• Sur la partie algorithmique, j'ai retitré. Qu'est-ce qui est confus ? Bien d'accord qu'un nombre est premier ou non, mais le vocabulaire habituel me semble bien d'affecter, du point de vue de l'utilisateur, une probabilité au fait qu'un nombre est premier après un certain nombre de tests probabilistes enchaînés. Cela dit, la proposition de réorganisation d'El Caro me semble judicieuse.
• Pour la démonstration sur l'infinité des nombres premiers : bin, je me suis appuyé sur la source Hardy and Wright (apparemment) ; a priori, je leur fais confiance pour avoir proposé la vraie preuve historique. Et le recours à la factorielle me semble plutôt un obscurcissement inutile, non ?

Salle (d) 17 février 2009 à 19:57 (CET)

Remarques de Fr.Latreille

1. Malgré ce qui est dit en PDD, prendre comme définition le fait d'avoir « exactement deux diviseurs distincts [entiers!!] » apparaît arbitraire. La tradition dit « pas d'autre diviseur que lui-même et 1 », c'est plus clair, même si çà oblige ensuite à une remarque sur le cas de 1. Quant à 0, il devrait être a priori exclu du topo (on travaille sur N* -- encore que, au paragraphe "Généralisations" on se retrouve subitement dans l'anneau Z).
2. Le paragraphe 2 est de nature à décourager le lecteur le plus bienveillant : « équations diophantiennes », « arithmétique modulaire », « norme p-adique », le tout sans aucune explication, et avant d'avoir parcouru les considérations les plus élémentaires... Et le schéma sur les rectangles, pourtant bienvenu, n'a aucune correspondance dans le texte.
3. Le paragraphe "Autres algorithmes" est confus, et ne décrit finalement aucun autre algorithme de calcul de nombre premier. Quant à la probabilisation de la primalité d'un nombre, je regrette : un nombre donné est premier ou ne l'est pas, et aucune probabilité (nombre) ne peut être affecté à une réalité ; on peut seulement dire qu'un nombre est probablement premier (il s'agit alors de confiance, pas de probabilité).
4. Le paragraphe "Les formules menant aux nombres premiers" est ambigu et confus. Le théorème de Wilson ne produit pas de nombre premier. Et les considérations sur les diophantiens se terminent pas un « ce polynôme ne donne aucun résultat en pratique » particulièrement mal venu.
5. Je ne comprends pas pourquoi la démonstration de l'infinité des nombres premiers est obscurcie : « pour tout p, p!+1 est premier ou admet un diviseur supérieur à p » est une quasi-évidence (pour une fois qu'une démonstration pourrait figurer in extenso !)

Bref, je crois qu'il y a encore à retravailler. --Fr.Latreille (d) 16 février 2009 à 00:48 (CET)

Remarques sur l'introduction

Bonjour,

Tout d'abord, cet article me parait très bon, mais je ne suis pas convaincu par l'introduction. Pourquoi parle-t-on de nombres composés à cet endroit ? Je me demande aussi si la première phrase n'est pas un peu trop mathématique pour que tout le monde comprenne immédiatement de quoi il s'agit. Par contre, désolé, mais je ne vois pas trop comment arranger les choses, à part en mettant la première phrase dans un paragraphe à part (?). Yggdras (d) 14 février 2009 à 14:37 (CET)

Propositions d'El Caro

Voici quelques propositions pour améliorer l'article :

1. L'intro : on pourrait se passer de définir ici les nombres composés et de donner une liste de nombres premiers. Pour la liste, on sait comment ça finit : en général, un contributeur scrupuleux va vouloir donner ceux qui sont inférieurs à 200, puis 1000, puis... (voir les articles sur pi et √2 par exemple, pour les décimales). Une réécriture pourrait l'améliorer.
2. Il manque quelques applications élémentaires : calcul du PGCD et PPCM, fractions irréductibles (et d'autres que j'oublie sans doute) avec la décomposition en nombres premiers.
3. Les deux points précédents pourraient être regroupés dans une première partie "Première approche" : exemples, justifications de l'importance par la décomposition des nombres entiers composés (qu'on définit donc à ce moment), applications élémentaires.
4. Le paragraphe "structures ..." ne devrait pas être en premier, mais vers la fin. On peut avoir envie de se renseigner sur les nombres premiers sans passer aux anneaux ou à la norme p-adique.
5. La fin de la partie "autres algorithmes" mériterait d'être développée : c'est une piste de recherche très actuelle. Mais ce n'est pas urgent. En attendant, il faudrait y ajouter un sous-titre comme "déterminer si un nombre est premier" ou "test de primalité". Car cette partie mélange deux choses différentes : faire une liste de nombres premiers et, un nombre étant donné, déterminer s'il est premier.

Je peux faire ces modifications si personne ne s'y oppose. Mais ça ne remet pas en cause la qualité de l'article, ce serait plutôt pour préparer l'étape suivante ;-) ---- El Caro ^bla 14 février 2009 à 15:59 (CET)

D'autres remarques de Touriste

Quelques idées où je ne répète pas toutes les trois phrases "à mon avis" "il me semble que" etc... Ne vous leurrez pas si vous me trouvez bien présomptueux et péremptoire : je n'exprime qu'une subjectivité, je ne prétends pas dire la vérité même si j'économise des circonlocutions pour être plus direct.

Il faut une partie élémentaire clairement identifiée comme telle et qui vienne tout de suite après l'intro (les anglais ne font pas bien ça à mon avis) qui contienne juste l'infinitude des premiers et le th. de décomposition en facteurs premiers, si possible en soulignant que l'existence est beucoup plus facile que l'unicité, même si celle-ci n'est pas de haut niveau (cette remarque doit sûrement se sourcer... mais où ?). On pourrait y glisser un exemple de famille de premiers, par exemple Mersenne. Je ne suis pas convaincu de l'utilité de traiter comme le fait l'article Mersenne et Fermat, ce sont deux exemples du même esprit : pour le second, un wikilien me semblerait suffire.

La partie mathématique plus savante (la réunion des parties 4 et 5 de :en) me semble bien se regrouper autour de deux thèmes : la répartition des nombres premiers (pas la peine de parler de jumeaux plus tôt) et les méthodes de calcul autour des nombres premiers : comment en trouver ? comment vérifier qu'un nombre est premier ? qu'est-ce qu'un test probabiliste ? Proz m'a convaincu que le polynôme issu des travaux autour du 10ème problème de Hilbert est essentiellement hors sujet et doit soit être viré, soit évoqué plus discrètement (et en tous cas pas cité explicitement dans cet article).

Il y a ensuite un fouillis complet chez :en (la partie 3) et un truc moins fouillis mais où quand même l'ordre des choses ne me convainc pas (notre 2 avec son "structures" dans le titre, que je trouve très bourbachique pour un sujet pas vraiment bourbachique). J'arrive à dégager deux idées intéressantes qui me semblent pouvoir être citées : il se trouve que l'ensemble des nombres premiers est (à la caractéristique zéro près) l'ensemble des caractéristiques des corps et qu'il indexe (à la valeur absolue usuelle près) l'ensemble des places. Ce qui justifie l'existence d'objets importants indexés par p (les corps premiers, les nombres p-adiques) qui me semblent (je me répète de trucs dits déjà et ne serai pas forcément suivi) intéressants en soit plutôt qu'en tant qu'exemples de tel ou tel type de structure, fût-ce celle de corps topologiques.

Attention quand même au hors sujet. Un piège où ne tombe pas :en et dans lequel nous tombons davantage est de rendre abusivement transitive la relation "est de près en rapport avec". Par exemple RSA est une application de la théorie algébrique élémentaire des nombres (l'arithmétique modulaire dans nos appellations wikipédiennes), laquelle fait apparaître un peu partout des nombres premiers. RSA est donc absolument à citer dans arithmétique modulaire, de même qu'arithmétique modulaire doit être facilement accessible depuis nombre premier (un lien doit inviter à y poursuivre la lecture dans la dernière phrase de la section élémentaire d'ouverture, par exemple). Mais RSA ici me semble limite hors sujet. Ce qui ne l'est pas par contre, c'est d'expliquer que plein de méthodes récentes de cryptographie nécessitent de savoir produire de très gros nombres premiers. Mais ceci est autre chose que d'exposer succinctement le principe de la méthode à deux clés. De même je ne suis pas convaincu des évocations du lemme chinois et des théorèmes de Sylow : "nombre premier" est évidemment lié à "nombre primaire" et à "facteur primaire", où parler du lemme chinois et de Sylow s'impose. Mais ici ?

Voilà je m'arrête là, je ne compte pas m'investir dans l'article c'est juste quelques idées que j'espère exploitables. Touriste ✉ 17 février 2009 à 21:07 (CET)