Discussion:Nombre complexe

Utilisation pour edp

si mes souvenirs sont exacts, je crois que les transformations du plan complexe permettent également de travailler facilement dans l'aerodynamique / hydrodynamique. toutefois, je demande l'avis de spécialistes .... ffa

Définition

L'ancienne définition :

L'ensemble des complexes est constitué par tous les couples de deux réels? a et b, noté (a,b).

Représente l'ensemble {R x R} noté également R², ce qui est bien évidemment différent de C. Il existe une fonction projetant C dans R² qui est bijective, ce qui n'empéche pas que ce soit deux corps (?) différents.

hashar

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Pour la définition, je suis d'accord. Tout a fait d'accord même... mea culpa.... :p

Pour l'hydro, je vais m'y atteler... en essayant de faire moins de fotes :)

merci bcp

barmyb_99

il faudrait peut-être arrêter de dire n'importe quoi: un corps est un triplet (E, op1, op2) et non un ensemble. (C,+,x) est identifiable à (R^2, op1, op2) selon les règles suivantes

(a+ib) -> (a,b) avec les lois (a,b) op1 (c,d) = (a+c, b+d) et (a,b) op2 (c,d) = (ac-bd, ad+bc), op1 correspondant à l'addition dans (C,+, x) et op2 à la multiplication.Claudeh5 (d) 11 octobre 2008 à 10:12 (CEST)

Remaniements

Bon, j'ai pratiqué une chirurgie sévère pour remanier cet article: il y avait carrément une sorte de construction des nombres complexes, qui ne me semble pas à sa place ici.

Par contre, la partie historique avec les motivations, me botte carrément!

Je n'ai pas encore repris la partie sur la forme trigonométrique, et vers la fin du texte, la partie "motivations" est d'origine: je l'ai copié et édité sur place dans "Histoire" (ou un titre du genre), ce n'est pas fini non plus.

J'hésite...

Snark 11:14 fév 7, 2003 (CET)

J'ai enlevé la partie qui traitait de la "rentabilisation économique des nombres complexes" car son niveau de langue n'était pas acceptable. C'est l'ensemble de cet article qui mériterait d'être modifié car il fait peine à voir si on le compare son équivalent en anglais.

J'ai remanié la partie parlant de « schizophrénie ». Je ne vois pas ce que l'on gagne à obscurcir un concept relativement simple (le fait que l'on ait défini les nombres complexes sans qu'ils aient une intuition matérielle immédiate et évidente) par l'usage d'un vocabulaire psychiatrique. David.Monniaux 10 décembre 2005 à 12:13 (CET)

Je trouve aussi que l'article mériterait un remaniement sur le fond. Il emploie une sorte de langage infantilisant en espérant que cela aide à faire de la bonne vulgarisation, ce que je conteste avec vigueur, et j'y lis des choses comme "Nous allons adopter ici une notation propre (qui n'existe nulle part ailleurs dans la littérature), afin de simplifier la compréhension", ce qui me fait froid dans le dos. RamaR 11 décembre 2005 à 09:20 (CET)

J'essaie de reprendre la partie vulgarition, qui me semble extrêmement faible et part un peu dans tous les sens. J'essaie de me baser sur la démarche adoptée, qui semble cohérente, et de rajouter un peu de liant. Le danger, c'est que je fasse perdre le côté vulgarisation précisément... J'espère que d'autre contributeurs contrôleront et qu'on pourra échanger.Salle 19 mars 2006 à 13:14 (CET)

Voilà, j'ai modifié les dux premières parties du paragraphe vulgarisation : "x et i" et "nombres et vecteurs". La partie "Multiplication imaginaire" est moins aberrante, dans un certain sens, que ne l'étaient les autres. En revanche, je ne vois pas bien quels objectifs y sont poursuivis ; il me semble qu'elle pourrait servir à montrer que les opérations algébriques sur les nombres pevent être définies comme des mouvements géométriques sur les vecteurs, mais il n'est pas très clair que ce soit fait. A revoir, en tout cas, mais je n'y touche pas pour le moment.Salle 19 mars 2006 à 14:49 (CET)

i

Bien que $i^{2}=-1$, ca n'implique pas que $i={\sqrt {-1}}$. C'est une erreur courante. La racine n'est pas definie à ce moment pour les nombres complexes, et apres definition c'est de plus valeur.130.89.220.215 24 janvier 2006 à 15:28 (CET)

vous êtes à côté de la plaque ! il s'agit d'une NOTATION ancienne utilisée avant qu'on introduise i. D'ailleurs c'est une racine de -1, il n'y a aucune erreur. Et quand vous avez définie la racine carrée, on a bien $i={\sqrt {-1}}$.Claudeh5 (d) 12 octobre 2008 à 09:30 (CEST)

Article de qualité?

Après la lecture de cet article, je pense qu'il faudrai le proposer comme article de qualité. Qu'en pensez vous? je toruve que l'article est très bien expliqué, donc accessible à beacoup de personnes. antoinou2958 1 novembre 2006 à 10:52 (CET)

A mon avis certaines parties ne sont pas assez développées comme la partie historique, l'approche matricielle. Pas de racine nème d'un nombre complexe, ... Oxyde

À recycler

La partie de « vulgarisation », en particulier le paragraphe sur « x et i », manifestement inspirée d'un livre d'Albert Jacquart, qui aussi sympathique soit-il, n'est pas mathématicien, regorge d'approximations douteuses. À réécrire par quelqu'un qui en aurait le temps… --DSCH (pour m'écrire) 5 février 2007 à 00:07 (CET)

Je me demande s'il y a quelque chose à récupérer de cette partie de vulgarisation. Il est possible de régler ces problèmes d'approximations douteuses, mais je pense que cette vulgarisation s'appuie sur les vecteurs qui ne sont pas une notion élémentaire, alors que les nombres complexes peuvent être utilisés sans faire de la géométrie vectorielle. Sans doute cette partie pourait faire une belle introduction d'un article sur les nombres complexes qui s'adresse à un public maîtrisant déjà parfaitement le sujet. Ne serait-il pas plus simple de faire migrer cette approche vers wikilivres ? Oxyde 11 février 2007 à 11:39 (CET)

Je déplace cette partie qui ne me paraît pas être une approche:

Les nombres complexes et les vecteurs

Étant un nombre imaginaire, $i$ n’appartient pas à $\mathbb {R}$. On sait additionner, et multiplier des nombres réels, mais il n'y a a priori pas de sens à effectuer des calculs faisant intervenir $i$. Pourtant, dans les procédés de résolution des équations du troisième degré, de tels calculs apparaissent. Il nous faut donc essayer de donner un sens à des opérations telles que $a\cdot i$ et $a+i\;(a\in \mathbb {R} )$. Il existe déjà un domaine dans lequel on effectue une telle multiplication « hétérogène » : celui des vecteurs. Nous savons qu'un vecteur peut être multiplié « à gauche » par un scalaire. Mais il n'en n'est pas de même pour la loi d'addition qui est interne et qui ne permet d'additionner que des vecteurs entre eux et non un scalaire avec un vecteur. Nous allons donc devoir considérer, selon les besoins, un nombre réel comme un scalaire ou comme un vecteur. Nous allons adopter une nouvelle notation pour désigner le vecteur correspondant au nombre complexe considéré. Plaçons-nous dans un plan géométrique muni d’un repère $(O;{\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}})$, l’axe des abscisses représente l'ensemble des nombres réels. Nous allons noter ${\vec {1}}$ le vecteur ${\overrightarrow {u}}$; le vecteur ${\vec {i}}$ est le vecteur ${\overrightarrow {v}}$. On appelle ce plan le plan complexe, mais les notations des vecteurs associés aux nombres complexes ne sont pas habituelles.

Nous allons faire le lien entre les calculs classiques sur les scalaires et ces vecteurs ${\vec {1}}$ et ${\vec {i}}$ et les calculs faisant intervenir les nombres réels et le nombre imaginaire i. Le plan complexe sera donc un modèle géométrique pour représenter les nombres réels et imaginaires, et les opérations entre eux.

Afin de simplifier la compréhension, de bien séparer les concepts, nous utilisons cette notation non standard, qui permet de distinguer les nombres (réels ou imaginaires) de la représentation géométrique de ces nombres à l'aide de vecteurs :

• le vecteur ${\vec {1}}$ va servir de représentation géométrique pour le nombre réel 1
• le vecteur ${\vec {i}}$ va servir de représentation géométrique l’inconnu imaginaire i.

Un réel quelconque $a$ étant égal à $a\cdot 1$, nous allons représenter $a$ par le vecteur $a\cdot {\vec {1}}$. La multiplication par un réel correspondra donc à la multiplication par un scalaire.

Ainsi, l’expression $a+b\cdot i$ sera représentée par le vecteur $a\cdot {\vec {1}}+b\cdot {\vec {i}}$.

Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites

Nous pouvons donc considérer un vecteur quelconque ${\vec {z}}=a\cdot {\vec {1}}+b\cdot {\vec {i}}$ de ce plan, et nous allons étudier ses propriétés, sachant qu’il doit obéir à certaines règles puisqu’il représente une expression dans une équation.

Pour nous simplifier l’écriture, si a est un réel, nous nous permettrons de l'écrire ${\vec {a}}$ plutôt que $a\cdot {\vec {1}}$ (on peut ainsi écrire ${\vec {5}}$).

Multiplication imaginaire

L'addition des réels correspond parfaitement à l'addition vectorielle, nous ne nous attarderons donc pas plus là-dessus (bien qu’en toute rigueur, l’addition nécessiterait une étude aussi poussée que la multiplication).

Pour la multiplication en revanche, on est face à une ambiguïté par rapport aux vecteurs géométriques classiques : le scalaire est lui-même un vecteur. Ainsi, l'expression classique a · b (a et b étant réels) peut se traduire à la fois par $a\cdot (b\cdot {\vec {1}})$, par $b\cdot (a\cdot {\vec {1}})$, par $(a\cdot b)\cdot {\vec {1}}$, donc par $a\cdot {\vec {b}}$ et par $b\cdot {\vec {a}}$… On voit que a et b ont un rôle symétrique, et que l'on a en fait… une opération entre deux vecteurs, un « produit » de vecteurs mais qui n'est ni un produit scalaire puisque le résultat est un vecteur (le résultat de la multiplication par ${\vec {i}}$ n’est pas un scalaire), ni un produit vectoriel puisque le résultat est dans le plan.

Nous allons donc devoir inventer une nouvelle opération, que nous allons appeler « produit imaginaire » et noter ×. Comme toutes les opérations sur les vecteurs, il s'agit en fait d'une construction géométrique, nous allons commencer par étudier la transformation des vecteurs de la base pour pouvoir l’étendre à tout le plan.

On a donc :

• ${\vec {1}}\times {\vec {1}}={\vec {1}}$
• ${\vec {1}}\times {\vec {i}}={\vec {i}}$
• ${\vec {i}}\times {\vec {i}}=-1\cdot {\vec {1}}$ d’après l’égalité (1) vu au paragraphe en haut (x²+1=0)

On voit que dans le plan, multiplier par ${\vec {1}}$ revient à ne rien changer, et multiplier par ${\vec {i}}$ revient à faire une rotation d’un quart de tour dans le sens positif. Cette multiplication est donc, entre autres, une rotation.

Multiplication imaginaire des vecteurs de la base

Si maintenant on considère ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, qui est égal à ${\overrightarrow {a\cdot b}}$ puisque (a · b) est lui-même un réel, on voit que c’est une homothétie, une dilatation ; ${\vec {b}}$ est dilaté d’une quantité $||{\vec {a}}||$.

En fait, on voit que si l’on prend un vecteur ${\vec {u}}$ quelconque du plan, si α est l’angle qu’il fait avec l’axe des réels, alors la multiplication imaginaire d’un autre vecteur ${\vec {v}}$ par ${\vec {u}}$ revient à faire

• une rotation d’angle α ;
• une dilatation de $||{\vec {u}}||,$

c’est-à-dire une similitude directe (une transformation géométrique qui conserve les angles et l’orientation).

Construction graphique de la multiplication imaginaire

On donne ainsi un sens à une écriture de type

$(a_{1}\cdot {\vec {1}}+a_{2}\cdot {\vec {i}})\times (b_{1}\cdot {\vec {1}}+b_{2}\cdot {\vec {i}})$

qui est la traduction de l’expression

(a₁ + a₂ · i)·(b₁ + b₂ · i).

Commentaires sur cette vulgarisation

Les nombres complexes peuvent parfois susciter un certain malaise chez certains élèves et étudiants (illustré par une scène du film Les Désarrois de l’élève Törless de Volker Schlöndorff) : i est un « extra-réel », un « E.R. » (avec la même connotation que « E.T. l'extraterrestre »), un intermédiaire de calcul encombrant que l’on a donc placé sur un autre axe. La présentation géométrique permet de démystifier les nombres complexes et d’en donner une intuition.

La multiplication dans le plan complexe est une construction géométrique au même titre que d'autres qui, appliquée aux réels, se résume à la multiplication simple, et qui, appliquée à un réel et à un complexe quelconque, se résume au produit d'un vecteur par un scalaire. L'écriture « a + b · i » peut être vue comme un abus d'écriture qui consiste à mettre sur le même plan les scalaires et les vecteurs, ce qui ici est légitime.

Proposition de reprise de l'article

J'ai retravaillé les parties 2, 3, 4 et 5 de l'article usr une page de brouillon. Je propose de l'intégrer au texte actuel. La partie 1 tomberait aux oubliettes, il resterait à travailler sur une introduction, et une partie d'approche élémentaire (telle que dans l'article variété (géométrie), qui me semble d'un meilleur style que la partie 1 de cet article), sur leur articulation, sur une partie historique, à demande à un physicien de reprendre sérieusement la partie sur le rôle en physique qui me semble pouvoir être améliorée, à illustrer au moins la partie sur les représentations géométriques (je ne sais toujours pas faire), à sourcer, et l'article pourrait être correct. Y a-t-il une opposition à ce que je commence le processus en effeaçant les parties 1, 2, 3, 4 et 5 et en remplaçant par ma version (qui est complètement basée sur la version actuelle) ?Salle 2 août 2007 à 12:19 (CEST)

les évolutions proposées pour les parties 2 à 5 me semblent toutes positives (j'aurais des retouches à proposer, mais j'attends que tu fasses la migration). L'intro actuelle ne va effectivement pas. Pour les images, commençons par faire notre marché chez les autres wiki

Fichier:Gaussebene Koordinatendarstellung.png

Peps 2 août 2007 à 13:57 (CEST)

Pour que les retouches puissent être faites, j'effectue le remplacement. Je n'ai pas (encore) intégré de dessin. Par rapport à la version de 12h, j'ai rajouté une remarque sur la structure de R-algèbre qui motive des liens vers quaterion et octonion, dans la partie Constructions. Salle 2 août 2007 à 14:15 (CEST)

J'avais envie de mettre cette phrase à la fin de ce qui est actuellement la section 4.1 : Le fait qu'il n'y ait besoin d'ajouter qu'une seule racine carrée (ici, i, qui est celle de -1), pour obtenir automatiquement toutes les solutions des équations algébriques à coefficients réels (par exemple, une racine carrée de -3 est $i{\sqrt {3}}$), est une propriété très particulière du corps des nombres réels.

Le but étant de prévenir ce qui me semblerait une conception erronée facile à avoir. Masi, je ne sais pas si prévenir les conceptions erronées fait partie du boulot d'un tel article, ni si celle-ci est suffisamment notable. Qu'en pensez-vous ?Salle 3 août 2007 à 16:51 (CEST)

Je pense que c'est une bonne idée. Wikipédia n'est pas un livre de cours mais cela n'empêche pas de prévenir ce genre de conception erronnée, d'autant plus que cette remarque est intéressante en soi.Mû 3 août 2007 à 17:36 (CEST)

Fonctions méromorphes et théorème des résidus

Le libellé de l'article (avant correction) laisse entendre que le théorème des résidus exigerait que la fonction concernée soit méromorphe. Il n'en est rien : que les points singuliers de la fonction holomorphe soient tous des pôles (cas des fonctions méromorphes) ou qu'il existe des points singuliers essentiels, le théorème est applicable. Cf. la fonction

$\mathbb {C} ^{\ast }\to \mathbb {C} ,\,z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)$

qui est holomorphe sur $\mathbb {C} ^{\ast }$ mais n'est pas méromorphe sur $\mathbb {C}$. Vivarés 4 août 2007 à 16:02 (CEST)

Fusion description et géométrie

Je reprendrais bien les deux premières parties pour placer la représentation géométrique avant la forme trigonométrique. En effet, le « résultat d'analyse réelle » invoqué pour définir l'argument est précisément fondé sur la paramétrisation en abscisse curviligne du cercle unité, donc sur une interprétation géométrique du plan euclidien. Les deux parties seraient donc regroupées en une seule, jalonnée par les intertitres Forme cartésienne, Plan complexe (ou Représentation géométrique) et Formes polaires (éventuellement scindée en Forme trigonométrique et Exponentielle complexe).--Ambigraphe 4 août 2007 à 16:18 (CEST)

Ah, ce résultat danalyse réelle, j'en étais bien content pour ne pas dire que je cachais la poussière (l'ordre d'exposition entre fonctions trigos, exponentielle, et géométrie) sous le tapis ; et c'est bien que ça n'ait pas tenu longtemps. Si tu es prêt à faire le boulot, c'est une très bonne idée, en faisant bien attention à ce que l'article reste accessible. Ne pas oublier la partie sur la représentation des opérations sur les complexes. Il faudra peut-être d'ailleurs être encore plus explicite sur le fait que l'écriture matricielle est adaptée à un point de vue représentation de groupes.Salle 4 août 2007 à 16:30 (CEST)

Il n'est évidemment pas question dans cet article de démontrer ce « résultat » qui doit plutôt se trouver au rayon Fonction trigonométrique, mais de le placer de façon plus naturelle après la description géométrique du plan complexe. Pour l'instant, je reformule ça dans ma couveuse.

Accessoirement, je mettrais bien une image du plan d'Argand et un ensemble de Julia pour attirer l'œil à côté du sommaire.--Ambigraphe 4 août 2007 à 16:39 (CEST)

Nouveau plan

Voilà, j'ai construit un nouveau plan pour l'article. Reste pas mal de boulot :

• dans l'article,
  • remplir, développer ou détailler les sections signalisées et renvoyer pour les détails aux articles idoines quand il y en a,
  • placer la formule de De Moivre, peut-être dans une sous partie En analyse de la partie Nombre complexe#Développements en mathématiques,
  • clarifier la partie physique et ingénierie pour la rendre compréhensible et utilisable,
  • traduire l'historique anglais qui semble correctement fait en dehors de cette étrage histoire de fronton impossible pour Héron d'Alexandrie,
  • rajouter une image de Cardan, du plan d'Argand ;
• dans les articles connexes,
  • construire un formulaire des nombres complexes ou quelque chose d'approchant,
  • détailler les démonstrations pour la construction des nombres complexes,
  • améliorer les présentations du conjugué, du module d'un nombre complexe, de l'argument d'un nombre complexe,
  • créer l'article Espace quotient,
  • préciser le notions utiles de canonique et de stable.

--Ambigraphe, le 2 septembre 2007 à 16:12 (CEST) P.S. : Accessoirement, je me demande ce que fait cet article dans la sélection junior.

Pour moi, les deux premières parties semblent être arrivées à maturité. Je laisse de côté la partie histoire qui reste à faire, et la partie physique, pour laquelle il faudra essayer à nouveau de solliciter un physicien. Reste la partie Structure et la partie Développements. Quelques remarques :

• Pour la partie structure, au fond, je n'ai pas l'impression qu'on puisse mettre la dynamique sous ce titre.
• Tu suggères une partie sur les racines de l'unité et la cyclotomie. En fait, j'avais pas mal taillé dans ce genre de considérations, et je ne pense pas qu'il faille aller plus loin qu'un lien vers d'Alembert-Gauss, et racine de nombre complexe, pour la raison que ce ne sont pas des propriétés vraiment liées aux nombres complexes : déjà vraies pour la clôture algébrique de Q.
• La partie sur les automorphisme traîne toujours. Quelqu'un est-il persuadé de son utilité ? Pas moi, mais je peux me tromper.
• Structures d'ordre : que veux-tu mettre là-dedans ?
• Développements : résolution déquation, à terme, devra figurer dans la partie histoire, donc on pourra l'enlever de là. Bon, analyse complexe est indiscutable, topologie, je ne sais pas, nombre hypercomplexe, je n'aime pas le titre, mais il faut ouvrir vers tout ce qui est algèbres sur un corps, et d'après ce que j'ai dit plus haut, transférer la partie dynamique. Ama, il manque une ouverture vers les équa diff. Mais de toute manière, il faudra faire des choix. Disons qu'à première vue, on ne devrait à mon sens pas mettre plus de sections d'ouvertures, et que je remplacerais du coup topologie par équa diff.

En tout cas, merci pour le boulot effectué. Salle 2 septembre 2007 à 18:11 (CEST)

• La dynamique peut être déplacée dans les développements si on veut, mais le couple Julia/Mandelbrõt n'utilise rien de plus que la structure de corps. En tout cas, c'est aussi l'occasion de mettre une jolie image.
• Mentionner les racines de l'unité, le nombre j et les polynômes cyclotomiques me semble important, sans qu'il soit besoin d'en mettre plus qu'un paragraphe.
• Les automorphismes méritent une phrase (la situation est différente de celle sur les réels) mais c'est peut-être casable dans un autre paragraphe.
• Il y a un article Corps ordonné qui dit tout ce qu'il faut sur les structures d'ordre sur $\mathbb {C}$. Il suffit de bien faire le renvoi.
• Dans résolution d'équation on peut mettre les suites récurrentes doubles ainsi que certaines équa diffs. La topologie je m'en charge. Les nombres hypercomplexes je n'y connais pas grand chose à part les quaternions, mais un renvoi me semble nécessaire.--Ambigraphe, le 2 septembre 2007 à 19:15 (CEST)

• racines, automorphismes, corps ordonné : ok, en fait, c'était juste le fait de mettre des sections qui me faisait craindre que tu veuilles faire un pavé sur ces items. Cela dit, je reste dubitatif sur la nécessité de parler de polynôme cyclotomique. J'attends de voir. J'ai l'impression qu'on peut se passer de sous-sections dans la section 3, puisque tous les points vont être des renvois.
• résolution d'équation : je ne vois pas bien pourquoi on parlerait de suite récurrente ou d'équa diff ? Quand je parlais d'équa diff, je pensais plutôt à Cauchy-Lipschitz, point singulier, monodromie, surface de Riemann. Il y a moyen d'écrire un petit paragraphe de 6 ou 7 lignes où on place tous ces mots et où on explique que le champ complexe est un bon endroit où faire des équas diffs, ce qui motive les surfaces de Riemann.
• Il faudra aussi parler un peu de théorie analytique des nombres.

Sur ces deux derniers points, je vais essayer de proposer quelque chose. Salle 3 septembre 2007 à 16:15 (CEST)

interrogation

Je dois dire que je suis assez attristé de ne pas voir la définition du corps des complexes comme étant l'ensemble des couples (a,b) de réels muni des deux lois + et x suivantes (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) et (a,b)x(c,d) = (ac-bd,ad+bc) (par rapport à un curieux commentaire du début de cette page, je rappelle qu'un corps suppose deux lois !).Claudeh5 (d) 18 février 2008 à 11:41 (CET)

C'est bien ce qui figure dans la section Construction/vecteurs du plan euclidien, non ? Salle (d) 18 février 2008 à 13:07 (CET)

Canoniquement choisi

Je cite dans l'article construction « Il existe un nombre complexe i canoniquement choisi » Je ne comprends pas vraiment le sens et l'utilité de cette phrase. De plus je ne trouve pas vraiment le choix de i canonique. J'aurais préféré un truc du genre, ils existent deux nombres dont le carré vaut -1, l'un est noté i, et l'autre est alors forcément son opposé (et peut-être oser mentionner la théorie de Galois). Noky (d) 21 février 2008 à 20:56 (CET)

Tout est dans la phrase : « l'un est noté i ». Pourquoi choisir l'un et pas l'autre ? Le fait est que dans toute construction formelle de C à ma connaissance, il y a un choix canonique pour i, donc une orientation du plan complexe. Alors peut-être que la phrase de l'article peut être améliorée, mais il est important de spécifier cette orientation. Ambigraphe, le 22 février 2008 à 08:24 (CET)

PS : oui, on peut mentionner la théorie de Galois, mais sans doute plus dans la partie « Structure du corps des complexes » que dans la partie « Construction ».

En quoi ce choix est-il canonique ? Noky (d) 22 février 2008 à 12:43 (CET)

Je connais trois constructions de C, celle des couples de réels équipés d'une multiplication, i est canoniquement associé à (0, 1), celle des composées d'homothéties et de rotations, i est canoniquement associé à la rotation d'un quart de tour direct et celle des quotients de polynômes, i est canoniquement associé à la classe de X. Le choix apparaît canonique de par la construction. Mentionner Galois ne me semble pas indispensable, bien peu de lecteurs de l'article risquent d'avoir un bagage suffisant pour comprendre. Pour la majorité du public, suivre ce lien signifie tomber sur un savoir inaccessible et donc impose une perte de temps bien inutile. Enfin, si des gens ayant plus d'expérience que moi en terme de pédagogie, je pense à ceux qui sont prof, ont une opinion inverse, leur opinion doit évidemment primer sur la mienne. Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 13:29 (CET)

En quoi le fait que le de dire que le couple (0,1) est i est-il canonique ? On pourrait très bien choisir de prendre (0,-1) pour i et cela ne changerait strictement rien. Je trouve vraiment que l'emploi de ce mot est de trop. C'est un choix complètement arbitraire (qui est un peu le contraire de canonique). La seule chose qui est vraiment canonique dans tout cela, c'est qu'une fois que l'on décide d'orienter i vers le haut alors le sens direct résulte de e^(ix) pour x croissant (et encore il y a la aussi bcp d'arbitraire). Bon après quand je disais Galois je pensais plus à mentionner la fonction qui remplacerait i par -i et réciproquement (le mrophisme sans le dire) et de dire que les éléments invariants sont les réels mais en fait c'est dire ailleurs dans l'article, pas de mettre un lien vers la théorie de Galois. Noky (d) 22 février 2008 à 13:36 (CET)

L'adjectif « canonique », en mathématiques, est employé pour qualifier un objet (ou une forme d'expression) qui permet de le désigner parmi des objets semblables ou expressions équivalentes. Sommes-nous d'accord sur ce point ?

J'ai l'impression que tu confonds l'adjectif « canonique » avec « traditionnel » ou « usuel ». Un choix canonique peut complètement arbitraire, c'est même souvent le cas. On pourrait effectivement décider que i est représenté par le couple (0, -1) si on veut, ça n'a pas d'importance. Ce qui est vraiment important, c'est qu'il y a un choix canonique parmi les solutions de l'équation $X^{2}+1=0$.

Pour prendre un exemple concret, une structure presque complexe sur une variété de dimension paire est la définition (localement cohérente) d'une structure de C-espace vectoriel sur chaque espace tangent. Si on oublie qu'il y a un choix canonique pour i, on pourrait alors définir une structure presque complexe sur RP(2). Ce serait un point de vue intéressant mais qui ne correspond pas aux choix faits par la communauté mathématique actuelle. Ambigraphe, le 22 février 2008 à 13:59 (CET)

Il y a le sens canonique qui permet de reconnaître si deux objets sont égaux, comme pour les polynômes du second degré par exemple, si deux formules (avec des « et », des « ou » et des « non ») sur des variables booléennes sont les même (par exemple on développe au maximum). Et il y a le sens de privilégié qui n'a alors rien d'arbitraire, comme dans la phrase Q s'injecte canoniquement dans R. Et je pense justement que souvent le mot canonique est employé à la place d'usuel, comme dans le choix de (0,1) pour i. C'est le choix usuel (celui que tout le monde fait, même moi) mais il n'a rien de canonique, les objets mathématiques ne le rendent pas privilégié, c'est juste l'usage, d'où « usuel », qui veut cela. Noky (d) 22 février 2008 à 14:25 (CET)

Le choix de (0,1) pour i est effectivement usuel. Mais j'aimerais savoir si tu as bien compris qu'il y a un choix canonique de l'une des deux solutions de l'équations $X^{2}+1=0$ dans C. Oui ou non ? Ambigraphe, le 22 février 2008 à 14:30 (CET)

C'est justement là le problème, je ne vois pas en quoi il y a un choix canonique, à part si tu l'utilises comme synonyme d'usuel. Et non je n'y mets aucune mauvaise volonté, j'essaye de comprendre quel sens autre que celui d'usuel ou d'intrinsèque (c'est plus ou moins à ça que je pense quand j'emploie le mot canonique) tu lui accorde. Noky (d) 22 février 2008 à 14:36 (CET)

Eh bien le choix d'un générateur i des racines quatrièmes de l'unité est intrinsèque au plan complexe, qui se trouve du coup canoniquement orienté comme espace vectoriel réel de dimension 2. Le fait qu'usuellement, ce choix se fasse d'une manière ou d'une autre n'est pas en question ici. Ambigraphe, le 22 février 2008 à 15:21 (CET)

Je suis désolé ça m'échappe vraiment. Noky (d) 22 février 2008 à 17:38 (CET)

Reprenons posément. Dis-moi quand ça coince. Le corps des complexes n'est pas défini comme la clotûre algébrique de R. Il est d'abord défini comme l'ensemble des « nombres » qui s'écrivent $a+ib$, où le symbole i remplace l'ancienne « racine carrée de -1 ». Il est ensuite représenté géométriquement par l'ensemble des vecteurs du plan euclidien orienté. Suivront plusieurs formalisations, qui à ma connaissance comportent toutes une orientation canonique du plan complexe. Est-ce que jusqu'ici tu es d'accord ? Le fait d'être une clôture algébrique de R est une propriété de C, qui ne suffit pas à le définir. Ambigraphe, le 23 février 2008 à 13:46 (CET)

Comment cela une orientation canonique du plan ? Noky (d) 23 février 2008 à 14:12 (CET)

Personnellement, je partage l'opinion d'Ambigraphe sur la présentation des complexes. Deux légers points d'achoppement, ma foi bien secondaire : la clôture algébrique suffit à définir R, cette approche est naturelle mais ne convient pas au public auquel se destine l'article. Dans un contexte galoisien, qui considère C comme une clôture algébrique, l'orientation du plan n'est pas abordé, beaucoup d'algébristes n'y attachent pas d'importance. En revanche, je doute que cette population soit celle de l'article. Jean-Luc W (d) 23 février 2008 à 14:42 (CET)

La clôture algébrique de R suffit effectivement à définir un corps isomorphe au corps des complexes et les algébristes n'ont pas besoin de plus. Mais le plan complexe est orienté, c'est assez fondamental en topologie algébrique. En variable complexe, il y a toujours un élément i qui est spécifié. Dire qu'il y a deux nombres complexes de carré -1, qu'on note alors $i$ et $-i$, c'est une erreur de conception (sans conséquence au niveau lycée et pour la plupart des étudiants de licence, certes) ainsi qu'un contresens historique. Ambigraphe, le 23 février 2008 à 18:33 (CET)

i est-il canonique ?

Tout dépend du sens de l'adjectif canonique. Cet adjectif dérive du mot "canon", qui signifiait au Moyen-Age "principe" ou "règle" (penser aux canons de l'Eglise). Aujourd'hui, le mot "canonique" a plusieurs significations, plus ou moins équivalentes. Le wiktionnaire donne la définition suivante:

Ce qui semble à tous comme le plus simple, le plus porteur de sens ou ce qui facilitera des manipulations ultérieures.

Donc, oui, en ce sens, i est un nombre canonique (dans le sens : conforme à l'usage). De même, l'orientation d'une feuille ou de l'espace visible est canonique (conforme à l'usage). Noter un corps par la lettre K est canonique. Noter l'ensemble vide par $\emptyset$ est canonique. Etc.

Cependant, l'adjectif "canonique" a une deuxième signification :

Ce qui est conforme aux règles, ce qui est imposé par des règles déjà définies.

En ce sens, le corps Q s'injecte canoniquement dans R (id est : c'est une injection de corps et cette injection est unique, imposée par les définitions). Affirmer que i est canonique pourrait induire le lecteur en erreur. Il pourrait croire qu'il existe un choix naturel de la racine carrée de -1 dans la cloture algébrique de R, et que ce choix est imposé par les règles de l'algèbre (ce qui n'est pas le cas). L'adjectif "canonique" devrait être banni du vocabulaire scientifique.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 9 juin 2009 à 11:19 (CEST)

Choix canonique de i et choix du choix canonique

Je reviens sur une question précédente qui est fondamentale et qui devrait selon moi figurer dans l'article. Une représentation géométrique complète de X2 + 1 dans le domaine complexe nécessiterait 4 dimensions : 2 pour X et 2 pour la valeur complexe de l'expression de X2 + 1. Le nombre imaginaire i est un outil mathématique permettant de remplacer une droite (une dimension) par un plan (deux dimensions) en fesant abstraction de la loi ternaire de l'exponentiation (oubli de structure). On "fait" celà en choisissant canoniquement i2=-1 (ou, comme dans les temps "anciens", racine de i=-1). L'espace complexe est un espace pré-hilbertien, le préfixe "pré-" fesant justement référence à l'absence d'une hypothèse géométrique essentielle : la complétude. Lorsque l'on veut donner une interprétation géométrique, c'est quand même un détail à rappeler : l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous-espace ne redonne pas nécessairement ce sous-espace. Donc la réponse à la question de savoir qu'elle est la signification géométrique d'une différence de module est une réponse probabiliste : c'est "presque sûrement" la distance entre les 2 points (on dit alors "évènements" comme en relativité).

C'est le choix qui est trivial (par le système du conjugué), pas la décision de faire ce choix ! Selon moi, près de 80 ans "après" (1931 Kurt Godel), on devrait le souligner même dans une page de vulgarisation...

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 192.54.145.146 (discuter), le 12 octobre 2010 à 10:28.

Axel SCHNEIDER

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Ramanujan153 (discuter), le 12 octobre 2010 à 10:50‎.

Emploi en physique et ingénierie

J'ai supprimé une partie de ce paragraphe car la démonstration était fausse : la partie réelle de la deuxième équation n'est pas égale à la première équation. J'ai aussi supprimé une phrase car les formules sur l'impédance étaient fausses. Sur ce qu'il reste, les explications restent confuses.

Vulgarisation

Je n'ai pas suivi toute l'histoire, mais pourquoi réintégrer dans l'article un passage discuté dessus, dans cette même page de discussion, comme devant être "recyclé" ? Et cela sans discussion ni avertissement (ni effort d'intégration à l'article) ? Est-ce qu'il y a une discussion que je n'ai pas suivi sur d'autres pages de discussion ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 9 janvier 2009 à 13:56 (CET)

Message laissé chez Cdang : Ambigraphe notamment (et moi un peu) avait pas mal travaillé sur cet article, je crois me souvenir, c'est effectivement cavalier de réintroduire ça sans crier gare. Salle (d) 9 janvier 2009 à 19:57 (CET)

De la même manière que j'avais trouvé ça cavalier de l'enlever sans m'en parler. Vous n'êtes pas obligé de m'en parler, je ne suis pas obligé de vous en parler.

Bon, plus sérieusement : un article sur les complexes sans partie vulgarisée, ça sert à qui mise à part à ceux qui connaissent déjà les complexes ?

Pour montrer ma bonne volonté, je vais sabrer.

cdang | m'écrire 12 janvier 2009 à 13:24 (CET)

??? Il y a eu discussion avant suppression au dessus il me semble, à laquelle tu n'a pas pas participé (donc "on en a parlé"). Mais il est vrai que je n'ai pas suivi le film à ce moment là, et j'ai pu rater des épisodes. --Jean-Christophe BENOIST (d) 12 janvier 2009 à 15:14 (CET)

Bin voilà, on ne m'y a pas invité. La politesse, quand on élague un travail volumineux de quelqu'un, c'est de le prévenir. C'est pas obligatoire, hein, pas plus que bonjour et merci.

Ceci dit, je n'en fais pas un problème personnel (c'était pour répondre au terme « cavalier »), mais surtout un problème pédagogique : faites un sondage auprès des TS math pour savoir ce qu'est pour eux un complexe, vous vous apercevrez qu'ils sont capables de les manipuler sans rien y comprendre (moi faire ce que professeur dire). Alors dans un article encyclopédique, aborder le sujet comme ça… C'est aussi utile qu'une page blanche.

cdang | m'écrire 12 janvier 2009 à 15:51 (CET)

La partie "vulgarisation" ne gagnerait-elle pas à pousser davantage vers la construction géométrique du type de celle d'Argand ? En modernisant le propos, comme il est montré dans le film dimensions math qui est en partie repris dans ces notes de cours de lycée ? ---- El Caro ^bla 12 janvier 2009 à 13:49 (CET)

C'est un peu le genre d'explication que j'avais essayé de faire, en moins bien, cf. [1] et en particulier Fichier:Complexes multiplication imaginaire base.png. Mais c'est vrai que là, la transformation géométrique est prise à la base pour expliquer i. Avec Argand et Jacquard, on devrait faire quelquechose d'intéressant et d'utile.

Merci pour l'info.

cdang | m'écrire 12 janvier 2009 à 15:58 (CET)

Pour reprendre un des arguments développés dans la discussion pour la suppression :

mais je pense que cette vulgarisation s'appuie sur les vecteurs qui ne sont pas une notion élémentaire, alors que les nombres complexes peuvent être utilisés sans faire de la géométrie vectorielle.

Oui, mais les vecteurs sont du programme de 4^e, donc

1. À défaut de les avoir compris, tout le monde en France devrait les avoir vus (je sais, c'est un wikipédia francophone et pas français), y compris ceux qui s'orientent vers un BEP/bac pro.
2. Dès qu'on commence les complexes, on se précipite sur la géométrie, et dans les utilisations de base en physique (vecteur de Fresnel, fonction d'onde), on baigne dans la géométrie.

Concernant l'accusation à peine voilée de plagiat, je n'ai pas recopié Jacquard, je me suis inspiré de sa présentation et je le cite par honnêteté, mais la notion de similitude est du domaine public et n'a pas été inventée par lui ; par ailleurs, le formalisme — peut être maladroit, ça, ça peut se discuter — ${\vec {1}}$ est bien de moi.

Concernant la reprise pour un wikilivre, il y a une approche différente dans la Wikiversité, puisque là il s'agit d'un cours progressif. Le problème de la vulgarisation y est abordé d'une manière différente. cdang | m'écrire 12 janvier 2009 à 16:08 (CET)

Bon, projet : /vulgarisation

cdang | m'écrire 14 janvier 2009 à 11:01 (CET)

Pas d'obstruction de principe pour moi. Quelques reformulations peut-être. Salle (d) 14 janvier 2009 à 13:32 (CET)

OK, j'intègre.

cdang | m'écrire 19 janvier 2009 à 09:56 (CET)

Finalement, après plusieurs relectures, la partie vulgarisation me laisse sur ma faim : elle est assez peu claire (donc, pas sûr qu'elle atteigne son but), contient pas mal de PdV (sur le côté "extra-terrestre" par exemple) et redondante avec d'autres parties, qui disent la même chose différemment. Je crois que cdang a raison sur le fond mais, sur la forme, une telle partie reste très difficile à rédiger (sinon, j'aurais corrigé plutôt que de me plaindre en Pdd), notamment car WP, contrairement à un cours, s'adresse à tous les francophones et donc qui ont peu de prérequis communs. En fait, le plan de cette partie recoupe exactement ce qui serait une partie "histoire" (de Cardan à Argand). Donc une solution serait de remonter la partie Histoire en première place, elle servirait de "vulgarisation". Bien sûr cette partie historique doit être mieux rédigée pour atteindre son but, mais ça me paraît plus raisonnable à faire qu'une partie vulgarisation pure. ---- El Caro ^bla 14 février 2009 à 14:07 (CET)

notamment car WP, contrairement à un cours, s'adresse à tous les francophones et donc qui ont peu de prérequis communs. — bah oui, l'article tel qu'il a demande juste comme prérequis de déjà connaître les complexes.

Donez l'article à une classe de 1re S (ou s'équivalent hors de France) qui ne les a pas encore vu et demandez-leur ce qu'ils en retirent… Ne parlons pas d'un curieux non matheux qui voudrait juste se cultiver un peu, qu'est-ce qu'il retient ?

cdang | m'écrire 6 juin 2009 à 09:50 (CEST)

Vulgarisation (encore)

Je partage intuitivement l'avis d'El Caro sur la vulgarisation. De plus une L'analyse montre que son effet est mal ressenti par le public. Pour ces deux raisons, j'ai mis un petit mot sur le thé pour tater la sensibilité de la communauté sur cette question. Jean-Luc W (d) 28 avril 2009 à 18:32 (CEST)

Oui, il s'agit d'un ancien truc qui avait été coupé, puis remis. Après discussion ci-dessus, Cdang avait proposé autre chose, avait dit l'intégrer ; ce qui n'a manifestement pas été fait. Je prends sur moi de couper sans remords ; il me semble que le consensus a déjà été atteint, c'est juste le décret d'application qui n'a pas été pris. Salle (d) 28 avril 2009 à 19:07 (CEST)

J'approuve totalement l'action de Salle. Jean-Luc W (d) 29 avril 2009 à 10:09 (CEST)

C'est un mensonge, la partie vulgarisation a été totalement remaniée, il suffit de comparer la version du 5 février 2007 à celle du 22 janvier 2009. Ensuite, qualifier e point de vue une métaphore — et je veux bien que l'on me dise qu'elle est inappropriée et qu'on la supprime — est soit maladroit, soit malhonnête. On ne supprime pas une section entière pour un mot.

Si vous voulez que l'article reste une article de matheux pour matheux, je ne vais pas déclencher une guerre d'édition. Mais je vous invite à faire un peu d'enseignement (avec d'autres élèves ou étudiants si vous en faites déjà), frottez-vous un peu à la réalité, elle pique.

cdang | m'écrire 6 juin 2009 à 09:58 (CEST)

Mensonge, mensonge, comme vous y allez. Une comparaison entre la version du 15 avril 2009 [2] et ce que vous avez mis en lien plus haut dans cette page comme projet d'une partie vulgarisation /vulgarisation me semble assez bien montrer que le projet ne correspond pas à ce qui était réellement sur la page. Merci de nous conseiller de faire de l'enseignement ; mais n'est-ce pas une remarque absolument vaine pour l'écriture d'une encyclopédie ? Salle (d) 7 juin 2009 à 13:19 (CEST)

La partie dans /vulgarisation a été intégrée dans la version du 22 janvier 2009 donc dans celle du 15 avril 2009 (les liens pointent directement sur la section), donc au minimum erreur, je te laisse le bénéfice de l'honnêteté.

Ce qui est vain, c'est de sabrer un texte sans essayer de l'améliorer et sans apporter d'argument sur ce qui ne va pas. Wikipédia est fondé sur une attitude constructive, pas destructive. Le seul argument est la fréquentation relevée par El Caro, et c'est un argumentum ad populum… Je laisse parler le lien de lui-même. Et on ne se pose pas la question de la pertinence de la mesure. Par exemple, un article complexe sera visité par les 9 000 taupins de France, bon pour les stats, mais est-ce pertinent ? « 'ajout d'une "Approche vulgarisée des nombres complexes", qui est la principale modification depuis un an, n'a sans doute pas atteint son objectif. », il n'est pas écrit « il faut donc le supprimer, cela referait augmenter la fréquentation », par ailleurs l'objectif n'a jamais été quantitatif, mais qualitatif, que les quelques personnes qui y viennent repartent avec quelque chose.

Mais bon, si le texte n'a pas l'heur de plaire à monsieur le Baron, je le laisse dans se baronnie.

cdang | m'écrire 8 juin 2009 à 18:14 (CEST)

J'ai un peu du mal à comprendre ce qui pose problème ... PierreSelim (d) 29 septembre 2009 à 09:41 (CEST)

Vu que j'ai un peu de temps, je me souviens avoir vu les « complexes » deux fois en mathématiques. Une fois au lycée, où ils étaient présentés de façon historique avec $i$ et les travaux de Cardan et Ferrari, et enfin une fois en prépas où ils étaient défini comme un corps défini à partir de $\mathbb {R} ^{2}$ avec une loi de multiplication « spéciale ». Bref je trouve presque que l'article fait trop de vulgarisation.PierreSelim (d) 29 septembre 2009 à 10:05 (CEST)

Avis de Nefbor

Je comprends parfaitement l'amertume de Cdang (d · c · b), une réaction bien humaine. Il est vrai qu'il faudrait arrêter de juger la qualité d'un article par son taux d'audiance, comme si les internautes pouvaient juger du contenu d'une page Internet avant de l'ouvrir. Mais ce n'est pas le sujet ici, et on s'écarte vraiment.

Pour en revenir à l'article, il ne met pas suffisamment en avant les thèmes suivants : le plan d'Argand, la représentation géoémtrique des nombres complexes, et l'utilisation des nombres complexes en géométrie élémentaire. C'est fort dommage. La "partie vulgarisée" proposée par Cdang n'est pas géniale, ne me plait pas vraiment et ne semble pas vraiment rencontrer l'enthousiasme des contributeurs qui sont intervenus plus haut. Elle n'est pas forcément la meilleure façon de présenter les choses. C'est vrai. Mais elle répond à ce manque et à un besoin, et elle doit être retravaillée puis réintroduite dans l'article. Force est de constater que la partie géométrie est pauvre. A mon gout, l'article tire trop sur l'algèbre et pas assez sur la géométrie, mise au placard. (triste) Une mention des rotations et des similitudes est donnée, mais cela semble une anecdote dans l'article, ce qui n'est pas. Il manque aussi quelques mots sur les rapports anharmoniques. Il manque aussi une mention de l'indice des lacets, qui montre comment les nombres complexes peuvent intervenir dans la compréhension de la topologie des surfaces.

Je trouve la réaction de Salle (d · c · b) et Jean-Luc W (d · c · b) quelque peu déplacée, et Cdang pourrait fort bien l'avoir ressentie comme une attaque. D'où le ton très direct de sa dernière intervention ci-dessus, encore une fois compréhensible par rapport ce qui a précédé.

Fichier:381a-1-.gif Wikilove. Merci de m'avoir lu, Nefbor Udofix  -  Poukram! 8 juin 2009 à 23:05 (CEST)

Désolé, je ne trouve pas du tout déplacé de supprimer une section quand plusieurs discussions ont établi qu'une majorité de contributeurs (voire tous sauf un) la trouvaient pauvre. Fin de la partie polémique, j'espère.

Mais elle répond à ce manque et à un besoin, et elle doit être retravaillée puis réintroduite dans l'article. : pourquoi pas ; il y a toujours une proposition dans /vulgarisation, qui ne paraît pas si mauvaise, et que personne n'a fait l'effort d'essayer d'introduire dans l'article. Le reste de la partie Vulgarisation me semble plus difficilement défendable.

En réouvrant l'article, que la géométrie soit mise au placard au bénéfice de l'algèbre ne me saute pas aux yeux (même s'il pourrait y avoir plus de dessins) : la première partie me semble très orientée géométrie, dès la partie notation. Il y a ensuite une partie exclusivement consacrée aux interprétations géométriques. Elle est rédigée dans un style qui me plaît : concis et efficace, sans délayage ; loin de l'anecdote en tout cas. Bien sûr, je ne m'oppose à aucune modification (et je sais que je n'ai de toute manière aucune légitimité pour le faire, précisons-le au cas où), mais je crains le choix du délayage.

Pour les rapports anharmoniques : comment comptes-tu en parler ? Qu'y a-t-il de spécifique aux complexes qui le rende vraiment important ici ? Est-ce vraiment une notion si importante qu'il faille l'aborder dans un article de base ?

Pour l'indice d'un lacet : comment comptes-tu en parler ? toujours dans l'optique article de base, j'imagine que ça s'intègrerait quelque part dans la section Développements ?

Pour conclure, je n'ai aucunement l'intention d'intervenir pour figer l'article : je ne suis plus investi et il faut que la page suive son cours. Mais je trouve qu'il a quand même été correctement travaillé. Si réécriture il y a (ce qui, je le répète, est parfaitement légitime), je crois qu'il faudrait que le contributeur qui s'y mette fasse un vrai travail d'ensemble ; en se contentant de coller deux ou trois choses ici ou là, il me semble que le risque serait grand de plutôt nuire au plan et à la lisibilité que d'améliorer l'article. Salle (d) 9 juin 2009 à 20:22 (CEST)

Pour lever tout malentendu, je ne te reprochais pas d'avoir supprimé une partie du texte. Au passage, recopier tout ou une partie du texte supprimé dans une page de discussion me semble une perte de temps. Un simple lien vers la version archivée de l'article suffit, avec éventuellement quelques explications pour que le lecteur sache comment récupérer rapidement le texte supprimé.

Aussi je pense que l'article mérite d'être retravaillé mais aussi développé. J'irai malheureusement plus loin : un simple développement de fond de l'article ne suffirait pas. Il faudrait une meilleure articulation avec des articles déjà existants ou à créer. La partie Historique est celle qui doit être la plus retravaillée, et mériterait son article : Histoire des nombres complexes (1539-1950).

J'évoquais une possible mention de l'indice des lacets en pensant aux travaux de Cauchy sur l'analyse complexe. Son premier travail sur l'holomorphie (1814) utilisait un calcul avec des rectangles. Peu d'années après, le passage à des courbes, et en particulier à des cercles, peut être interprété rétrospectivement comme l'acceptation de la représentation géométrique des nombres complexes par Cauchy. On peut aussi et plus simplement évoquer l'impossibilité d'une détermination continue d'une racine carré sur le plan complexe. Finalement, ces nombres me semblent avoir été véritablement compris suite à l'introduction du plan complexe plutôt qu'à cause d'une construction formelle qui est venue après.

Pour information, la première construction mentionnée dans l'article est souvent attribuée à Hamilton. La deuxième est une relecture rétrospective des travaux essentiellement de Wessel, Argand et Gauss. La troisième construction est égale à la première.

Les rapports anharmoniques permettent de voir l'alignement ou la cocyclicité de points du plan affine en fonction de calculs sur leurs affixes (nombres complexes). Ce sont des exemples où des nombres complexes interviennent en géométrie élémentaire.

Pour conclure, je n'ai pas affirmé l'absence de la géométrie dans la version actuelle de l'article. Je dis simplement qu'elle est mise en second plan face à l'algèbre, mise en avant. Exemple typique : la construction de Wessel-Argand-Gauss est présentée comme un calcul sur des matrices, et l'aspect géométrique est ici complètement occulté. Le lecteur pourrait mieux connaitre les similitudes plutot que le calcul matriciel (à bas Bourbaki !).

Nefbor Udofix  -  Poukram! 9 juin 2009 à 23:56 (CEST)

Peut-être, peut-être. Pour la partie historique, elle n'a clairement pas été travaillée. Pour Cauchy, OK, mais attention au grand écart de niveau. Pour les rapports anharmoniques : bon, mais dans ce cas, il faut aller plus loin, parler d'homographie et de sphère de Riemann, non ? Pour les constructions, je ne suis pas d'accord : la troisième construction est conceptuellement différente, et ouvre sur la théorie générale des corps. Ce sont les deux premières qui sont assez proches l'une de l'autre (POV). Enfin, avec un brin de mauvaise foi, mais pas tant que ça : la géométrie est très présente dans la deuxième construction : il y a les mots similitude, module, argument, mesure d'angle, déterminant.

En tout cas, bon travail si tu te lances dans une réécriture sérieuse ; je relirai et je critiquerai si tu le permets, mais ne t'inquiète pas si tu trouves que j'interviens trop en PDD en ce moment, je te laisserai faire sans souci. Salle (d) 10 juin 2009 à 15:53 (CEST)

Je partage parfaitement tes craintes sur les risques de faire un grand écart. Néanmoins, j'aurais moins de scrupules d'évoquer très superficiellement certaines thématiques, comme les fractales, la géométrie complexe, ou l'analyse complexe en renvoyant le lecteur intéressé aux articles concernés. J'ai bien dit : superficiellement.

Aussi, l'habit ne fait pas le moine. Si je pose $|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ et appeler cela "module" sans que je fasse vraiment de la géométrie. Pour lever tout doute pour les gens qui nous lisent, je ne souhaite pas dans l'immédiat ou dans les prochains mois me lancer dans une réécriture dans cet article. Je ne vois aucun inconvénient si d'autres le font (bien au contraire) mais c'est un morceau plus difficile qu'il en a l'air. Les notions élémentaires ne sont jamais les plus simples à présenter.

En attendant, j'ai réécrit et renommé l'article Racine d'un nombre complexe. Pourrais-tu le relire et le commenter ? Merci.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 juin 2009 à 00:54 (CEST)

Suite à notre échange, j'ai visité différentes pages sur les nombres complexes et créer la catégorie Catégorie:Nombre complexe qui rassemble ces articles. Cela facilitera le travail de réécriture de cet article sur les nombres complexes. Nefbor Udofix  -  Poukram! 12 juin 2009 à 23:59 (CEST)

Descartes et les nombres imaginaires

Il faut tordre le cou à l'idée que Descartes parlait de nombres complexes quand il parlait de nombres imaginaires. Le terme utilisé dans la géométrie ne fait référence qu'à des quantités qu'on pourrait imaginer, pas à des nombres complexes dont il n'avait rien compris et dont il n'a jamais fait usage. Par contre on le trouve dans le traité de jean Prestel, Nouveau élémens des mathématiques tome 2 de 1689. p353 ou le traité d'algèbre de Michel Rolle de 1690.Claudeh5 (d) 10 novembre 2010 à 11:37 (CET)

Section nombre complexe#Historique

Je propose de remplacer cette section, largement non sourcée, ou mal sourcée (cf. ajout récent d'une source, mais Euler n'est pas "tenu en échec" car il y a une erreur dans un de ces livres) par un court paragraphe. Le renvoi sur Histoire des nombres complexes est suffisant (et on s'aperçoit qu'il y a des erreurs ou inexactitudes dans ce qui existe ici, en plus de celle sur Euler, comment par exemple l'existence des complexes pourrait-elle être admise après le mémoire de Wesssel que très peu de personnes ont lu ?). Proz (d) 18 avril 2012 à 23:13 (CEST)

Bon j'ai tenté un résumé, ai présenté un tableau récapitulatif des notions et notations introduites. Mais la refonte a fait disparaitre la liste des noms marquants. C'est une perte d'information mais une liste sans commentaire est peu utile : pourquoi ces noms-ci et pas d'autres sachant que nombreux sont les mathématiciens à utiliser les complexes ? J'ai volontairement limité les références car elles figurent déjà dans l'article principal. Si un point mérite une référence spéciale, il suffit d'utiliser le modèle qui va bien. HB (d) 26 avril 2012 à 18:18 (CEST)

Le tableau pourrait laisser penser, même si ce n'est pas ton intention, que Cardan utilise la notation √ . Peut-être Girard devrait-il d'apparaître (√-1) ? Sinon pour les listes de noms : je suis également d'avis que sans commentaires ça ne sert à rien. Ca fait tout de même penser (Moebius par ex.) qu'il devrait y avoir quelque chose sur la géométrie, géo. projective, courbes algébriques, théorème de Bezout etc. dans l'article principal (ça commence au XIX et le passage au complexe semble essentiel, mais je n'en sais pas assez actuellement pour rédiger quelque chose). Proz (d) 27 avril 2012 à 13:26 (CEST)

Sur Cardan rha ! tu as raison ! Je suis toujours partagée entre l'exactitude et la lisibilité. Je remets donc l'exactitude. En note, j'ai rajouté un petit hommage à Girard (ici n'est pas le lieu pour parler de l'histoire de la racine carrée). Sur l'apport des complexes en géométrie autre que classique, j'avoue mon incompétence, de même d'ailleurs que sur les apports dans les divers branches des math et physique. A ce propos, je suis très critique sur la dernière section de l'article histoire des nombres complexes#Un outil qui se révèle puissant que je trouve très faible (je pense qu'elle doit rester concise mais quand même un peu plus riche en contenu). HB (d) 27 avril 2012 à 17:19 (CEST)

Notations

1. Puisque l'unité imaginaire i est un nombre et non une variable, il devrait ne pas être en italique, de-même que 1, 2 ou π. Il faut écrire i²=-1 comme on écrit 2²=4, et non i²=-1' ou 2²=4. On devrait donc remplacer a + ib par a + ib.
2. D'ailleurs, on devrait écrire a + ib plutôt que a + bi, de-même que l'on écrit a + 2b plutôt que a + b2. De fait, on exprime une impédance complexe (Impédance_(électricité)) sous la forme z = R + iX (ou R + jX), jamais (?) R + Xi.

TAB (d) 20 septembre 2011 à 19:10 (CEST)

1. OK, fait.
2. Je crois qu'il faut rester opportunistes et souples. a_plus_i_bé est plus agréable à prononcer que a_plus_bé_i, mais ce dernier est plus naturel quand on regarde C comme un R-espace vectoriel (à gauche) de base (1, i). On dit cependant plus volontiers cosinus_truc_plus_i_sinus_truc que cosinus_truc_plus_sinus_truc_i. Le choix de a + 2b plutôt que a + b2 n'est pas comparable car il a sa propre logique : a_plus_bé_deu signifie a + b².

Anne 11/1/15 21h

coordonnée polaire - détermination d'un argument

Merci, Anne, d'avoir corrigé la simplification que j'avais faite sans avoir bien lu l'énoncé. mais du coup, il me semble que la formulation en est très alourdie. Ne vaudrait-il pas mieux se passer de la contrainte détermination principale ce qui permettrait de travailler seulement sur deux cas. Ne pourrait-on pas mettre à part le cas (plus simple car ne nécessitant pas le calcul du module)) de l'arctan en précisant que la méthode s'emploie pour a non nul, le cas a nul étant évident (pi/2 pour b > 0 et -pi/2 pour b < 0) ? HB (discuter) 14 août 2015 à 21:51 (CEST)

OK. Anne, Assomption 2015, 0h8

Très bien. Faudrait-il faire précéder ce paragraphe d’une mention des égalités dans le sens direct :

$\cos \theta ={\tfrac {a}{r}}{\text{ ; }}\sin \theta ={\tfrac {b}{r}}{\text{ ; }}\tan \theta ={\tfrac {b}{a}}{\text{ si }}a\neq 0{\text{ ?}}$

Grasyop ^✉ 15 août 2015 à 00:27 (CEST)

Oh cela me semble inutile car immédiat à partir de la forme a + ib = r(cos(θ)+isin(θ)). La difficulté, comme tu l'avais bien mis en évidence, est de savoir utiliser les fonctions arccos, arcsin et arctan. HB (discuter) 15 août 2015 à 07:57 (CEST)

proposition d'un autre plan

Je trouve l'article actuel (février 2016) un peu désordonné dans sa première partie, où tout est mélangé : notation, opération, interprétation graphique, conjugaison.... La section «structure du corps des complexes» est alors réduite au seul développement de la clôture algébrique.

Je proposerais bien un autre plan

1. Présentation
   1. Forme algébrique (partie réelle, partie imaginaire, réels, imaginaires purs)
   2. Forme polaire (module et argument)
   3. Forme géométrique
2. Opérations et relations
   1. Addition
      1. forme algébrique (avec la notion d'opposé et structure de groupe)
      2. interprétation géométrique
   2. Multiplication
      1. Forme algébrique (avec la notion d'inverse, et structure de corps)
      2. Forme polaire (avec expression de z^n)
      3. interprétation géométrique
   3. Conjugaison (avec les propriétés opératoires sur module, argument somme et produit)
   4. Module (principalement propriétés opératoires somme et produit)
   5. Relation d'ordre (pour expliquer l'échec de la création d'un corps totalement ordonné)
   6. Racine (pour parler des racines nième et évoquer le théorème fondamental)
   7. Structure (pour faire un bilan : ev de dim 2 sur R, corps algébriquement clos impossible à ordonner totalement
3. Construction (plan à conserver)
4. Développements en mathématiques etc. (le reste de l'article me parait logique dans son développement)

Cependant, l'article existe depuis 12 ans et je ne suis pas la seule à réfléchir à la meilleure organisation des informations. J'ai donc besoin de conseils, d'objections, de contrepropositions avant de me lancer (ou pas ?). HB (discuter) 13 février 2016 à 11:21 (CET)

Ce plan me parait logique et de bon aloi. Ne manque-t-il pas les logarithmes et exponentiation complexes dans 2. ? (peut-être dans 2.6 Racines, mais cela mériterait des paragraphes propres). Dans l'article actuel, on n'en parle (sauf erreur) que dans l'historique des NC, et c'est pourtant important. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 15 février 2016 à 16:29 (CET)

tu as raison : ajouter exponentiation et logarithme après racine HB (discuter) 15 février 2016 à 22:00 (CET)

sous-groupes

Vu à droite à gauche les résultats suivants : les seuls sous-groupes multiplicatifs de C* sont les sous-groupes Un^e des racines nièmes de l'unité. Ainsi que des considérations sur les sous-groupes fermés de (C, +) ou (C*, x). Ne maitrisant pas trop le truc et n'ayant pas de source, je laisse les autres statuer sur l'opportunité de compléter la section Structure avec ce type d'info. HB (discuter) 18 février 2016 à 14:33 (CET)

Vulgarisation mais plutôt : "diffusion" ; ( "divulgation" ?)

Bonjour,

Pendant que je butinait après le visionnage du film π je me suis mis à lire ça. J'y trouve en page 2 une référence aux nombre complexe sur la première page. Fichtre, malgré des études supérieures médicales, je n'ai, en vérité aucune idée de ce que cela veux dire. Reflexe, je vais sur WP. Et là ... je me dis, oulàlà, j'ai honte , mais ma cognition rationnelle me dit que je n'ai toujours pas la moindre compréhension à la première lecture de l'intro (ma cognition "sentiment", me dit de son coté que c'est bien long cette intro). Ma cognition "intuition" me conseil de ne pas me perdre sur cette page. Je retourne donc sur Google, et je trouve ce second lien. Et, bien OK toutes mes cognitions sont satisfaites (même la cognition sensitive qui comprend que je ne vais pas passer la journée vissé sur une chaise ) . Que les article de WP parle surtout aux initiés est un problème non ? Pourquoi parler de "vulgair-isation" ? Ne faudrait-il pas une exorde de qualité pour chaque article sur les notions essentielles de mathématique ? --Chetao (discuter) 30 septembre 2017 à 13:03 (CEST)

@Chetao Quand on n'arrive pas à expliquer quelque-chose de manière simple, c'est qu'on ne le comprend pas assez.

(Albert Einstein) 81.185.169.133 (discuter) 18 juin 2022 à 22:20 (CEST)

Merci Albert ! Chetao (discuter) 18 octobre 2022 à 08:38 (CEST)

Bonjour Chetao  ; c’est un vaste débat, mais concernant cet article en particulier, tu n’as pas tort : il faudrait au moins démarrer l’introduction par une phrase du genre : « les nombres complexes ont été introduits (par Cardan, etc.) pour donner un sens (ou « comme outil de calcul » ) à des situations où on avait besoin de « nombres » de carré négatif ». Quite à développer davantage (et dès le début de l’article) les difficultés et les résistances que cela a soulevé. Après, je m’étonne tout de même un peu que quelqu’un ayant fait des études supérieures non purement littéraires (et même…) ait pu passer à côté de ça ; décidément, les deux cultures, ce n’est pas une vue de l’esprit 🙂 Dfeldmann (discuter) 18 octobre 2022 à 10:34 (CEST)

il est certainement possible de dire les choses de façon plus accessible dans le résumé introductif, et de ne pas tout dire (corps non totalement ordonnable est trop anecdotique pour le résumé, éventuellement remarquer explicitement qu'un carré n'est pas nécessairement positif ...) . Désolé Denis, mais la partie historique telle qu'actuellement (et même réécrite) ne peut intervenir avant l'introduction des notions élémentaires. Pour améliorer : il me semble que la représentation géométrique est un peu sous-utilisée (rien sur la somme), en particulier dans le résumé. Proz (discuter) 19 octobre 2022 à 12:38 (CEST)

Bon, j’ai essayé un compromis : un petit bout d’historique avant toute chose, pour expliquer l’arrivée de ces nouveaux nombres. Qu’en penses-tu ? Dfeldmann (discuter) 19 octobre 2022 à 14:08 (CEST)

C'est bien dit, je ne sais pas si l'attribution au seul Cardan est parfaitement exacte d'après Histoire_des_nombres_complexes (voir avis Remmert). On peut demander son avis à  HB : qui a pas mal rédigé l'article historique. Mais cela pourrait être intégré au résumé introductif, en faisant la synthèse avec ce qui y est déjà (qui est probablement plus correct) ? Proz (discuter) 19 octobre 2022 à 15:06 (CEST)

En fait, j’ai justement essayé de tourner la phrase pour que ce soit une idée de Cardan (pour racine de -15, je crois) sans nier que d’autres (Bombelli) l’aient eu aussi et même avant lui. Mais c’est un détail, et il existe une section historique, et même un article détaillé. Par contre, la phrase du RI me semble suffisante pour résumer cette section introductive. Dfeldmann (discuter) 19 octobre 2022 à 15:25 (CEST)

Si on doit expliquer en une phrase l'apparition des nombres complexes citer Cardan et le désir de travailler sur des racines carrées de nombres négatifs me parait une approximation juste. Si on veut être rigoureux ne pas ajouter "pour résoudre des équations de degré 3" ce qui n'est pas prouvé pour Cardan et se révèle en fait difficile (prendre la racine cubique d'un complexe reste un obstacle). Mais il me semble que le reproche de Chetao ne pourra pas se résoudre par un déplacement de paragraphe. J'ouvre donc une nouvelle section. HB (discuter) 20 octobre 2022 à 08:49 (CEST)

Merci pour le taff, c'est très clair !

"Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément."

À propos des deux cultures : en France, un jeune zèbre de 17 ans devra choisir entre une khâgne ou une MP*. Les équations aux dérivées partielles ou l'étude des Veda ; n'est pas Schrödinger qui veut... (Ma Conception du Monde. Le Veda d'un physicien, Paris, Éditions Le Mail, 1982, 164 p., (ISBN 978-2715200883)).

L'ancienne introduction était rapidement compréhensible pour un cerveau doté d'un cervelet très habitué au langage mathématique. Mais pour un médecin, en pleine digestion, il fallait cette exorde pour glisser tranquillement vers des notions plus complexe...

Sur la présentation informelle

Cette présentation informelle introduite le 19 mai me gêne sur plusieurs points

• elle privilégie la présentation par le plan complexe. Or cela ne correspond, ni à la réalité historique qui privilégie l'introduction de nouveau nombres racines carrées de nombres négatifs, ni à l'introduction qui en est faite en classe où est aussi privilégiée la présentation algébrique, l'interprétation graphique venant plus tard
• elle peut expliquer facilement l'addition (en additionnant deux vecteurs) et la multiplication par un réel(en multipliant un vecteur) mais
  • cela opère une confusion : un complexe est-il associé à un point? ou à un vecteur?
  • cela ne permet pas d'expliquer le produit de deux complexes et la présentation informelle qui en est faite est complétement obscure : « on additionne des angles... »(mais lesquels?)

Je suis en général favorable à une présentation informelle mais dans ce cas précis, je pense que cela n'est pas possible à cause de la double approche algébrique et géométrique

je suis donc favorable à la suppression de la section. D'autres avis demandés. HB (discuter) 20 mai 2023 à 08:59 (CEST)

Bonjour HB , et merci pour le signalement. Je suis d'accord avec tes critiques (peut-être pas avec « cela n'est pas possible »). Plutôt qu'une suppression, je propose de renommer la section en quelque chose comme « Représentation géométrique », qui inclurait non seulement celle des nombres eux-mêmes, mais aussi celles des opérations (conjugaison, addition et multiplication). Il faudrait aussi la placer plus loin, et bien sûr la rédiger différemment. — Ariel (discuter) 20 mai 2023 à 09:22 (CEST)

 Ariel :, la présentation géométrique figure déjà dans l'article Nombre complexe#Forme géométrique, ainsi que l'interprétation géométrique du conjugué, de l'addition et de la multiplication HB (discuter) 20 mai 2023 à 09:36 (CEST)

 HB : j'avais bien vu cette section (peut-être à englober dans celle que je propose), mais justement je n'y ai rien vu concernant les opérations, on en trouve l'interprétation géométrique dispersée opération par opération, il est envisageable de regrouper tout ce qui concerne les complexes vus géométriquement dans le plan. — Ariel (discuter) 20 mai 2023 à 11:44 (CEST)

J'y suis favorable aussi, mais pas du tout pour les mêmes raisons. Une présentation informelle/vulgarisée est forcément anachronique, car on trouve les représentations simplifiées une fois le concept bien digéré par les mathématiciens. Et il est très défendable qu'une représentation géométrique soit plus compréhensible et intuitive qu'une représentation algébrique (et il y a des débats en ce sens en pédagogie en France). C'est plutôt le fait que on choisit une représentation géométrique sans aucun schéma ! et des explications textuelles assez lourdes et imprécises. On a a la fois les inconvénients de l'algèbre (texte) et l'imprécision de la géométrie sans en avoir les avantages. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 20 mai 2023 à 09:23 (CEST)

Je serais assez d'accord avec toi pour dire qu'une représentation géométrique est parfois plus compréhensible et intuitive qu'une représentation algébrique mais dans ce cas-ci, il y a la multiplication dont l'interprétation géométrique n'est pas triviale : intuitivement en géométrie, une multiplication de deux longueurs donne... une aire. L'étude historique (démarche préconisée dans le papier de l'Apmep que tu mets en lien) montre que la complexité de la multiplication a été un frein dans l'interprétation géométrique. Je pense donc que ce n'est pas pour rien que l'on entame plutôt l'introduction intuitive par «et si on ajoutait un nombre dont le carré valait -1?» qui permet de rendre naturelle la règle sur la multiplication. Comme le dit ton papier, cette approche là, pas forcément rigoureuse, a permis à Euler et Gauss de faire des choses admirables. HB (discuter) 20 mai 2023 à 10:00 (CEST)

Bonjour, merci pour vos commentaires. J'ai écrit cette section. Ma motivation était de rendre compréhensible la notion de nombre complexe pour des non-mathématiciens. En effet, je pense que la réalité historique est difficile à appréhender. Il faut avoir digérer les notions de polynômes, racines, etc. alors que la notion de point dans le plan est plus simple. Aussi, l'idée de cette section est de faire une présentation alors très peu de notations mathématiques. Comme le souligne Christophe BENOIST, la section manque de schémas ! Si vous décidez de garder la section, je me propose de créer ces schémas :). Si vous décidez de supprimer cette section, pas de soucis (mais il n'y aura jamais de schéma du coup ;) ). Fschwarzentruber (discuter) 20 mai 2023 à 10:28 (CEST)

Sur cinq paragraphes, il faut attendre la fin du quatrième pour lire quelque chose qui parle véritablement de ℂ et pas simplement de l'espace vectoriel ℝ² : « multiplier par un nombre complexe est plus subtil ». Le dernier paragraphe explique alors "avec les mains" le comment de la multiplication i×i mais pas, malgré son titre, le pourquoi : l'égalité i² = –1, postulat sur lequel sont construits les nombres complexes, devrait en effet être posée dès le début et non être présentée comme une conséquence d'une multiplication géométrique mal définie. Grasyop ^✉ 20 mai 2023 à 10:22 (CEST)

Historiquement, je suis d'accord avec vous. Mais pour comprendre l'intuition, je trouve ça plus simple d'expliquer "avec les mains" que i² = –1 a posteriori.

Pour revenir sur le commentaire de Christophe BENOIST, je vois un autre manque à cette section ; et c'est clairement de ma faute. Il manque une ou des sources ! Les débats que mentionnent Christophe BENOIST peuvent faire office de sources. Et je pense que l'on peut en trouver d'autres. Fschwarzentruber (discuter) 20 mai 2023 à 10:31 (CEST)

En fait, la seule chance d'avoir un consensus est de se fonder sur une approche sourcée. Je suis toujours fan des approches mathématiques de Roger Penrose (qui en plus, est un spécialiste des complexes !). Il explique très bien géométriquement la multiplication et donne même ce genre de diagramme très éclairant : [3] (À la découverte des lois de l'univers : La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique) où il montre l'analogie de l'addition avec une translation et de la multiplication avec la rotation; c'est ce genre de diagramme qu'il devrait y avoir (avec explications associées bien sûr). Jean-Christophe BENOIST (discuter) 20 mai 2023 à 11:21 (CEST)

J'ai ce livre. Le schéma en question est proposé au chapitre 5, dans une section intitulée « La géométrie de l'algèbre complexe ». Il vient après une présentation algébrique des nombres complexes, faite dans le chapitre 4, « La magie des nombres complexes », qui nous présente dès le début « le nombre magique « i » » puis l'addition et la multiplication (sous forme algébrique), en précisant que ces opérations vérifient les propriétés algébriques ordinaires (celles d'un corps). Grasyop ^✉ 20 mai 2023 à 11:46 (CEST)

Après une présentation algébrique ou non n'est pas le sujet (et peu importe en ce qui me concerne). Le sujet est : comment illustrer de manière pédagogique et "informelle" les nombres complexes, et ceci est une possibilité. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 20 mai 2023 à 11:58 (CEST)

Le sujet... Du texte d'une contribution à ces illustrations, le sujet du débat a quelque peu évolué. Commencer par une présentation algébrique ou par une présentation géométrique faisait bien partie des questions soulevées.

Elles sont très bien ces illustrations, et peuvent certainement servir d'inspiration pour illustrer notre article. Elles donnent une représentation géométrique des deux opérations ; elles ne sont cependant pas une explication (du moins, pas directement : elles pourraient en être accompagnées) du pourquoi de ces opérations : pourquoi choisit-on ces opérations plutôt que d'autres ? ; pourquoi ne pas faire la même chose en trois dimensions ? Parce que l'addition et la multiplication ainsi définies vérifient certaines propriétés telles que la distributivité de la seconde sur la première, qu'on n'aura pas si on définit ces opérations différemment. Ces propriétés justifient qu'on parle de « nombres » complexes. Même informelle, une présentation des nombres complexes me semble devoir justifier l'appellation de « nombres ».

Dans la présentation algébrique, l'addition et la multiplication apparaissent comme le prolongement naturel de ces opérations (avec leurs propriétés) déjà définies sur ℝ, avec pour seul ajout celui d'un nombre imaginaire i tel que i² = –1. Grasyop ^✉ 20 mai 2023 à 14:35 (CEST)

Merci à vous tous. Comme la section n'a pas été supprimée, je me suis permis de la compléter avec des illustrations pour la multiplication de deux nombres complexes, que j'ai tenté d'expliquer avec des mots du langage commun (distance, angle). Pas de "exponentielle i theta", pas d'expressions à développer. N'hésitez pas à sourcer, à remanier la section. Fschwarzentruber (discuter) 20 mai 2023 à 23:21 (CEST)

Je réponds ici, mais merci à HB pour l'historique ci-dessous. En allant voir dans l'historique de l'article, je suis quand même frappé par le caractère scolaire et surtout le formalisme de la partie "Présentation" qui intervient en début d'article dans la version précédente [4], ce qui n'est vraiment pas satisfaisant, donc je comprends que Fschwarzentruber ait souhaité intervenir. C'est quand même possible d'être rigoureux sans introduire tout de suite toute le vocabulaire (cf. Penrose). Parler de forme polaire avant de donner l'interprétation géométrique est aussi très curieux, et ce que ce sont vraiment des "formes" différentes. Maintenant la section "présentation informelle" (déjà qu'il y ait besoin de préciser "informelle" montre qu'on avait un problème dans la version précédente) n'est pas vraiment dans les clous, ne serait-ce que la section "Pourquoi i^2 = -1" sent clairement le TI et est à supprimer, et comme déjà dit elle ne suit justement pas Penrose dont elle prétend s'inspirer. Donc il me semble que la partie "Présentation" actuelle serait à renommer quelque chose comme "Définitions" et réécrite partiellement (c'est la section plus formelle, où le vocabulaire est précisé ou introduit), et qu'il y a la place pour une partie "Présentation" en commençant par le contenu de la section "Motivation" actuelle, et en embrayant sur l'adjonction (pas dit comme ça) de i : somme, produit, inverse ou division (comme Penrose par exemple), puis en donnant rapidement l'interprétation géométrique (dans R^2, sans parler de "repère orthonormé", ni même de vecteur, sans arcos etc.) des nombres et des opérations. Proz (discuter) 22 mai 2023 à 22:16 (CEST)

Merci pour votre commentaire. Je pense que c'est bien que la définition formelle apparaisse après une présentation informelle. Je pense comme vous. C'est dommage de présenter la forme polaire après la "forme géométrique" (pas sûr que ce soit une forme ?). Dans la forme actuelle, on a la phrase : "Le module du complexe z est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires". Alors que si on avait présenté avant que la "forme géométrique" avant, on aurait une explication de pourquoi le module est défini de cette façon : "Le module du complexe z, est, en appliquant le théorème de Pythagore ;), la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires". Je vois plusieurs futurs possibles :

- garder le plan comme c'est, et tant pis

- mettre la "forme géométrique" avant la "forme polaire". Restructurer un peu (on peut s'inspirer de Wikipedia anglais qui est plus pragmatique, le plan complexe y est présenté avant la forme polaire)

- renommer "Présentation informelle" en "Visualisation" et parler du plan complexe. Comme ça on peut s'appuie dessus dans la section "Présentation" (que l'on peut renommer en "Définition" non ?)

- ou carrément essayer de fusionner la section "Présentation informelle" et la section "Présentation". Mas J'y vois un inconvénient. Wikipédia s'adresse aux spécialistes et aux non-spécialistes. Il y a de potentiels lecteurs et lectrices qui risquent de partir en courant en voyant des notations comme |z|, des cos(θ), des angles en radians, des 2π etc. Alors que les nombres complexes c'est vraiment juste des points dans le plan ! Dommage de les faire fuir juste pour ça !

Qu'en pensez-vous ? Fschwarzentruber (discuter) 23 mai 2023 à 17:40 (CEST)

Un petit historique (ou de l'impossibilité de satisfaire tous les lecteurs)

• en février 2007 l'article présentait une double approche vulgarisée : introduction d'une racine de x²+1 et manipulation de vecteurs. Cette version donne lieu à une critique en page de discussion (voir #À recycler) et un nettoyage
• durant l'été 2007, une longue discussion entre plusieurs intervenants aboutit à une refonte de l'article. Ainsi en octobre 2007, la vulgarisation est éliminée, la présentation est donnée sous forme de nombres ayant plusieurs écritures (algébrique, vectoriel, polaire, trigonométrique). On explicite les opérations et ensuite seulement on développe le plan complexe et l'interprétation des opérations. Puis viennent les constructions théoriques de C et les utilisations
• en 2009, la partie vulgarisation est réintroduite puis à nouveau supprimée. Les discussions sur le sujet s'étalent de janvier à juin 2009
• en février 2016, trouvant l'article désordonné, je propose un nouveau plan qui suscite peu de commentaires: une seule réponse favorable et aucune objection . Le nouveau plan est donc mis en place, l'article est complété par Jean-Christophe BENOIST dans sa partie Emplois en physique et ingénierie et cette version reste plus ou moins stable jusqu'en septembre 2022
• en octobre 2022, Dfeldmann, qui aurait souhaité que la partie historique apparaisse en premier, réinstalle une petite intro indiquant que les complexes sont créés à partir de l'ajout d'un nombre dont le carré vaut -1
• en mai 2023,Fschwarzentruber (d · c · b) ajoute devant l'intro une présentation informelle privilégiant l'aspect plan complexe. S'ensuit une discussion montre des avis disparates, un souhaiterait que soit regroupé dans une section unique tout ce qui a trait à l'aspect géométrie (remettant en cause le plan proposé en 2016), un autre trouve qu'une présentation géométrique aurait sa légitimité à condition d'être assortie d'images et appuie cette introduction sur le chapitre 5 d'un livre de Penrose 5 À la découverte des lois de l'univers : La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique. Un autre fait remarquer que cela n'est pas logique de privilégier l'aspect géométrique car ce même auteur, Penrose, introduit d'abord l'aspect algébrique au chapitre 4. Bref, c'est l'impasse et la section «présentation informelle» continue à se développer, rendant humainement plus difficile sa suppression éventuelle.

Pour ma part, comme je suis à l'origine du plan de 2016, et que ce plan semble peu soutenu (voire désavoué) dans les dernières discussions, je ne peux plus intervenir et vous laisse gérer la suite en déplorant cependant le manque de stabilité des décisions prises. HB (discuter) 22 mai 2023 à 08:27 (CEST)