Discussion:Courbe elliptique

Forme de l'équation

Je voudrais remplacer la première équation de la page par la forme la plus générale de courbe elliptique: $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$. Ça aurait plus de bon sens quand, dans la section Courbes elliptiques sur les nombres réels, on prend le cas le plus simple avec l'équation de Weierstrass. Aussi, je pense qu'en général, une courbe elliptique est soit singulière ou non-singulière et c'est une notion qui est définie en plus de celle de courbe elliptique (est-ce que je me trompe?). Gene.arboit 11 août 2005 à 07:35 (CEST)

Oui, il est effectivement mieux de donner la forme implicite. Dake 11 août 2005 à 10:25 (CEST)

L'équation de Weierstrass $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$ a l'avantage de pouvoir être obtenue en toutes caractéristiques. L'équation $y^{2}=x^{3}+ax+b$ quant à elle nécessite, pour y arriver, d'opérer des divisions par 2 et par 3, ce qui n'est pas possible en caractéristique 2 ou 3 (cela ne pose donc pas de problèmes pour les nombres réels, complexes, rationnels).

Second point, une courbe elliptique est une courbe non singulière, en référence à «est soit singulière ou [sic] [...]» ci dessus.

Troisièmement dans la définition d'une courbe elliptique on demande l'existence d'un point (une solution à l'équation donnée); je crois même que ce point doit faire partie de la donnée. Dans les équations données ce point est implicitement choisi comme la solution «à l'infini». Sinon on a la notion de courbe (projective) non singulière de genre 1 et plus généralement de courbe de genre 1.

Enfin je voudrais faire une remarque sur la notion de courbe qui ne s'intersecte pas. La notion de singularité pour une courbe est strictement plus générale que d'avoir deux branches qui s'intersectent en un point, comme par exemple pour XY=0 (l'axe des abscisses intersecte proprement/transversallement l'axe des ordonnées en (X,Y)=(0,0)), ou pour Y(Y-X^3) (l'axe des abscisses intersecte la seconde branche en son point d'inflexion). Par contre dans l'exemple Y^2=X^3, soit Y=+/- X^(2/3) en nombres réels, il n'y a qu'une seule branche (au sens algébrique ou au niveau des points complexes), mais il y bien une singularité en (0,0), de type différent des précédents, elle est dite de type cusp, ou en pointe pour franciser.

Rude Wolf 18 octobre 2006 à 21:20 (CEST)

Vous aurez corrigé Y=Y=+/- X^(2/3) en Y=+/- X^(3/2) ci-dessus... Rude Wolf 30 mars 2007 à 16:06 (CEST)

le terme français pour cusp est rebroussement(ce mot mériterait nn article j'avoue ne pas avoir regardé s'il existe

Personnellement j'utilise pointe au lieu de rebroussement (probablement à tord). Mais pour une courbe modulaire, les cusps sont pour moi des pointes paraboliques, et dans le même contexte une cusp form est une forme (modulaire) parabolique. Rude Wolf 5 septembre 2008 à 07:18 (CEST)

Le cusp dont on discute ici est une singularité dans une variété algébrique, les cusps dans les courbes modulaires sont des points non-singuliers qu'on ajoute pour compactifier une courbe affine. Dans cet article, point de rebroussement me semble être le bon terme. Liu (d)

sinon deux observations :

• le passage de la forme générale (P(x,y)=0 avec P de degré 3 en x

ET en y à la forme de Weierstrass n'est pas tout à fait évident : il faut envoyer un point d'inflexion à l'infini

• il vaudrait mieux commencer par le cas de caractéristique zéro, déjà très riche, où l'equation

$y^{2}=x^{3}+ax+b$ suffit, et réserver la caractéristique p à la fin de l'article

Jaclaf 23 novembre 2006 à 17:21 (CET)

Reprise de l'article

J'ai modifié l'introduction en corrigeant certaines erreurs, d'ailleurs signalées plus haut (il faut un point dans le corps pouur parler de courbe elliptique, c'est lui qui va donner l'origine de la loi de groupe ; idem sur les singularités) et en élargissant un peu le propos car les courbes elliptiques ne sont pas seulement importantes en théorie des nombres (même si dans les années 80, c'était là qu'elles sont redevenues à la mode!). Je n'ai pas pour l'instant essayer d'expliquer les passages aux bonnes formes (Weierstrass, etc.), pensez-vous que ce soit nécessaire? Mon impression est que c'est bien fait dans la littérature.

A part cela, je crois que ce serait bien d'avoir des explications "par corps", c'est-à-dire sur les complexes (le tore), sur les réels (à peu près fait ici), sur les rationnels, etc. Je vais essayer de m'y coller.

--Cgolds 9 octobre 2007 à 16:47 (CEST)

je viens de lire un peu en diagonale. Pourquoi parler de noeud d'intersection ou de noeud : point double pose-t-il problème ? le vois-tu comme moins parlant ?

tu dis sur le thé "je ne suis pas très convaincue de ma solution pour le projectif" en parlant du démarrage, je pense (?). Pour ce qui me concerne, j'approuve ce mode de présentation. La première fois que j'ai vu du projectif c'était dans un vieux traité de Cremona avec plein de jolies figures, les considérations opératoires sur les points à l'infini, et autres points doubles étaient introduites d'autorité, et je trouvais que pour un premier contact ça passait très bien. Peps 24 octobre 2007 à 18:34 (CEST)

Super, merci, tu as raison de mettre la verticale plus haut, cela clairfie les choses. Quant au noeud, je crois que c'était là avant. Si point double est clair pour tout le monde (je pense en fait rajouter une figure ou alors renvoyer à 'cubique' pour cela), je le change, c'est mieux, n'est-ce pas? J'ai pensé rajouter une figure de courbe elliptique en perspective où on voit bien le point à l'infini à l'intersection des verticales, ce sera joli. --Cgolds 24 octobre 2007 à 19:38 (CEST)

effectivement je pense que "point double" va mieux. J'ai enlevé la mention de "perspective" parce qu'elle induit d'envisager la situation en sortant du plan et je ne trouve pas ça forcément éclairant pour le premier contact (ça se discute, ça dépend de la figure trouvée). Je pense que sa place plus naturelle serait en intro du passage au projectif.

dernier truc, pour le style, moi je suis assez neutre sur le sujet, mais de nombreux éditeurs trouvent qu'il faut éviter d'interpeller le lecteur (genre "attention :"), voire éviter le "nous" ("partons" de deux points...). Peps 24 octobre 2007 à 20:58 (CEST)

Beau travail. Pour commencer, le pluriel me semble inutile et la définition de courbe algébrique (déjà en lien) un peu lourde dès l'intro. Ensuite, est-ce l'addition en elle-même ou l'existence d'une telle opération d'addition qui a des applications ? Plus clairement, est-ce la méthode de construction (telle qu'elle est présentée plus bas) ou l'existence de la loi de composition interne qui est utile ? Je mettrais plutôt : « une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, satisfaisant entre autres une propriété d'addition de ses points. L'existence d'une telle opération (plus précisément une loi de groupe commutatif), est à l'origine… » mais bon, ça se discute.

On pourrait enfoncer le clou en commençant le deuxième paragraphe sur « Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique. »

Si on veut éviter le pronom « on », l'équation pourrait être introduite par la phrase : « Algébriquement, chaque courbe elliptique peut être représentée par une équation cubique (réduite ?) s'écrivant, à l'aide d'un choix adapté de coordonnées, … »

Ensuite, au cas où j'y comprends encore quelque chose, ne vaudrait-il pas mieux préciser que la courbe est définie sur un corps lorsque ses solutions sont recherchées dans ce corps ? Il faut évidemment que les coefficients y appartiennent aussi, mais si je ne me trompe pas, il y a une nuance de sens.

Cette phrase sur l'équation hésite entre une description et la définition formelle. Je serais d'avis de mettre la condition sur la régularité dans une phrase à part, peut-être après la mention du point à l'infini, juste avant la définition formelle. À propos de cette dernière, j'aimerais savoir si cette courbe est nécessairement prise dans le plan projectif et s'il est important de parler de coordonnées.

L'expression du dernier paragraphe pourra être remaniée plus tard en fonction d'éventuelles modifications de structure. Ambigraphe, le 24 octobre 2007 à 21:23 (CEST)

Coucou, j'ai changé déjà un peu le style: plus de 'nous', la lectrice n'a qu'à prendre ses distances, na! Je réfléchis sur tes suggestions d'Ambigraphe (ou vas-y si tu vois comment faire). Juste une chose: le corps de définition c'est celui des coefficients, pas celui des points qu'on regarde (un peu plus tard, tu auras une courbe réelle et on la regarde comme définie sur C, mais je n'en suis pas encore là). Ou bien on va dessiner les points réels d'une courbe définie sur Q, etc.

J'achète tout à fait le singulier (j'avais cela au début et je me suis emmêlée dans la phrase). Je trouve la distinction addition/existence un peu trop subtile pour une entame mais si tu vois comment faire cela clairement, vas-y. Quant au plan projectif, si la question porte sur 'plan', non, ce n'est pas indispensable, mais (et je comptais parler de cela à la fin), de toute façon, on trouve des coordonnées qui font devenir cela plan. Mais si la question est sur 'projectif', alors oui, il faut un point distingué et on l'envoie à l'infini pour avoir l'équation de Weierstrass que tu vois, donc le point à l'infini est forcément là (sinon, ce n'est pas une courbe elliptique). Si tu veux être super-exact, on pourrait même dire qu'une courbe elliptique est un couple (E, O), mais c'est d'un pédantisme échevelé. Là encore il me semble que ce serait mieux d'expliquer cela plus loin, pour ceux qui ont envie de voir les finesses de la chose. Mon idée était d'éviter les questions délicates au début sans rien écrire de faux (par exemple, il y a une phrase dans un autre article qui dit que la plupart des courbes sont planes !!! Je voulais éviter de dire des choses comme cela-alors que c'est presque vrai ici- tout en tablant sur le fait qu'une courbe naturelle pour un lecteur disons de lycée, c'est plan. --Cgolds 24 octobre 2007 à 21:38 (CEST)
Glurps, j'ai oublié de répondre sur 'coordonnées', je ne suis pas sûre de comprendre la question : est-ce pour les points? Ou bien en général? J'ai donné la déf. technique sans coordonnées de la courbe ('en termes plus techniques etc.'), mais pour le début, le truc le plus simple sur R, je pensais que c'était plus parlant. De toute façon, j'ai besoin de coordonnées pour écrire les équations de la loi de groupe (naturellement, en 'vrai', ce sont des fonctions rationnelles sur la courbe etc. liées entre elles par l'équation de Weierstrass, re-etc.), mais moi je n'ai pas envie qu'on commence comme cela, dans le cas où on est, 'tout le monde' les appelle des coordonnées, non  ? Aie, je sens que je vais me faire massacrer par quelqu'un . Je peux peut-être sourcer plus --Cgolds 24 octobre 2007 à 21:46 (CEST)

Sur la question de l'existence, je ne pensais pas expliciter un distinguo discutable, mais formuler la phrase pour qu'elle décrive plus précisément ce que je crois être la vérité. Or il se pourrait bien que je me trompe et que l'on utilise effectivement en pratique l'addition (et non le simple fait qu'elle existe) dans les applications que tu cites. Je ne connais pas assez bien le sujet pour trancher.

À propos du corps de définition, je reste perplexe vis-à-vis de tes deux exemples. Si tu dis « les points réels d'une courbe définie sur Q », tu suis bien la logique de la définition placée dans le corps du texte, mais cela ne concorde pas avec ta phrase « une courbe réelle et on la regarde comme définie sur C ». Ma question demeure donc, à savoir : peut-on étudier les points d'une courbe sur un surcorps du corps sur lequel elle est définie ? Une autre manière de sortir de ce problème serait de dire que le corps de définition d'une courbe elliptique est le plus petit corps contenant ses coefficients. Mais dans ce cas peut-être qu'un changement de coordonnées change le corps de définition et ce ne serait pas très satisfaisant (on a envie de le voir comme un invariant).

En ce qui concerne les coordonnées, je tiquais juste sur la fin de la définition technique. Est-il nécessaire de donner des coordonnées au point marqué dans l'espace projectif qui contient la courbe ? Ambigraphe, le 25 octobre 2007 à 09:13 (CEST)

J'essaie une réponse au passage, j'espère ne pas dire de bêtise : oui, on utilise vraiment l'addition dans les applications, et pas juste son existence ; et, oui, on peut étudier les points d'une courbe dans un surcorps du corps de définition : toutes les questions galoisiennes demandent, pour être énoncées, de faire ce genre de chose, ou les méthodes locales-globales.

Ensuite, commencer par le cas des courbes réelles me semble le bon choix. Il me semble toutefois que l'exposé pourrait être un peu plus compact, sans perdre en accessibilité : il est un petit peu plus délayé que nécessaire, à mon sens, mais je peux me tromper. Salle 25 octobre 2007 à 19:04 (CEST)

D'accord avec Salle sur les explications. A vrai dire, je n'avais pas trop envie de rentrer au début dans le détail 'du' corps de définition. En particulier parce que ce problème à mon avis doit être discuté dans 'courbe algébrique projective', par exemple, pas ici en détail. Je voulais attendre la section plus loin pour discuter 'équation minimale' et ce genre de truc. Mais a priori, on se donne une courbe définie sur un corps et alors on a l'équation avec les coefficients dedans. Le point important par rapport à ta question c'est que ce corps est lié aux coefficients de l'équation, pas à l'endroit où on cherche les points (c'est comme une équation à coefficients dans Q : on peut ensuite avoir des résultats intéressants sur ses racines réelles, et sur ses racines complexes, etc.).

Re: le délayage, j'ai un peu testé certaines formulations sur un naif. Là je dirais qu'il faudrait plutôt l'avis de non-matheux de bonne volonté ou de ceux qui veulent garder le niveau d'entrée accessible à un public large. C'est bien vrai que parfois trop de délayage nuit, et surtout en ligne, si c'est trop long. Mais c'est vrai aussi que des trucs évidents pour des matheux ne passent pas toujours (mon exemple favori: le principe du local global, j'ai expliqué cela une fois pleine d'enthousiasme à un copain physicien et la réponse a été: mais pourquoi tu trouves cela bien de remplacer une équation simple par une infinité d'équations compliquées?). Il me semble que le bon test sera plutôt pour les complexes, Q, etc. (ici, j'avais un peu en tête un public lycéen mais c'est peut-être utopique ou mal fait). Amitiés et merci beaucoup--Cgolds 25 octobre 2007 à 19:25 (CEST)

Oui, oui, je suis d'accord que le test est la lecture par un non matheux. C'était juste un sentiment comme ça (et si Jean-Luc était là, il nous dirait que je dis ça à chaque fois, aussi, il ne faut pas y accorder plus d'importance que nécessaire). Salle 25 octobre 2007 à 20:20 (CEST)

Sécante

Modification de Peps: oh, zut, oui, damned, merci beaucoup. J'ai vérifié et Bézout est bien là, mais il est énoncé dans Wikipédia sans préciser le corps de référence mais de fait sur un corps algébriquement clos (mn points d'intersection).

Je me dis que le plus clair serait de dire : ... cas particulier de Bézout etc. sur les réels : 'une droite sécante passant par deux points de la courbe recoupe la courbe en une troisième point (distinct ou non'), et en liant à 'droite sécante'.

Qu'est-ce vous en pensez? --Cgolds 25 octobre 2007 à 00:10 (CEST)

oui (j'avais indiqué cela dans la boîte commentaire d'ailleurs), et le lien droite sécante existe mais là faut que j'y aillePeps 25 octobre 2007 à 08:13 (CEST)

Oui, tout à fait, c'est cela que je reprenais (en gardant Bézout, version réelle, si tu penses que c'est bien). --Cgolds 25 octobre 2007 à 19:05 (CEST)

J'ai corrigé dans ton sens et fait le lien à singularité : la définition là était singulière, justement , 'point ou objet non défini' (!?), j'ai changé au minimum (?). Il y avait aussi des 'croisements' à la place des points doubles (pas mieux que les anciens noeuds). Il faut des dessins comme c'est dit dans l'aticle d'ailleurs, sauf que l'Atelier graphique est aux prises avec des batailles navales pour le moment. Amitiés --Cgolds 25 octobre 2007 à 21:14 (CEST)

Etats d'âme

En re réfléchissant sur les questions précédentes, je me rends compte qu'une difficulté est que le 'vrai objet' 'courbe elliptique' est assez compliqué. C'est vraiment un couple (E, 0) avec un corps donné: la courbe est définie sur le corps, le point a des coordonnées dans le corps. On peut avoir une équation cubique à coefficients entiers et pas de point entier ou rationnel dessus, ceci ne donnera pas une courbe elliptique sur le corps des rationnels. Ensuite, on peut choisir les coordonnées (et cela veut dire des changements de variables qui utilisent le corps K et le fait que le point distingué soit à coordonnées dedans), pour obtenir une équation de type Weierstrass (et alors le point distingué a été expédié à l'infini dans le choix des coordonnées, et on peut faire tout ce qui est fait ici). Un objet simple, c'est la cubique affine et on pourrait faire des constructions dessus (historiquement, c'est le cas, on regarde d'abord les transformées successives par sécante et tangente, pas le truc de sysmétriser, etc.).

De ce point de vue, je me demande si l'article est honnête, au sens où peut-être il serait préférable d'avouer qu'on s'adresse aux lycéens plutôt dans l'article 'cubique' par exemple.

Le fait est que beaucoup de manuels passent outre, c'est-à-dire commettent l'abus de langage de désigner la courbe seule comme courbe elliptique (le point restant plus ou moins implicite). A fortiori c'est encore plus vrai pour les textes de vulgarisation et j'avais donc décidé de faire de même, en repoussant jusqu'au 6.1 ce genre de subtilités. Peut-être faut-il une phrase d'information là-dessus plus claire, je ne sais pas.

Toujours est-il que ce n'est pas une question 'naturelle' dans cette perspective de se demander si on pourrait trouver un corps minimal ou invariant, etc. Le corps est donné dans la donnée de la courbe. Avis bienvenu ! --Cgolds 30 octobre 2007 à 13:31 (CET)

Même si je dois rappeler que je ne connais pas grand chose aux courbes elliptiques, ce que tu dis me conforte dans les remarques que je faisais plus haut, à savoir essentiellement que le corps de définition concerne les coordonnées, ou plus exactement le corps de l'espace projectif dans lequel est définie la courbe. Je te proposerais bien une refonte de l'introduction, mais j'insiste sur le fait qu'il faudra que quelqu'un de compétent vérifie rapidement que je n'écris pas de bêtise. Ambigraphe, le 30 octobre 2007 à 16:43 (CET)

Vas-y ! Mais moi, en tout cas, je ne pourrais pas regarder avant la semaine prochaine (je suis absente pour quelques jours). Le but est que l'intro soit d'abord accessible à tout le monde et ensuite aussi exacte que possible (les choses peuvent devenir plus précises par la suite, l'important je crois est que l'intro ne choque pas quelqu'un qui connaîtrait le sujet - ce que fait la version anglaise pour moi). Merci. --Cgolds 30 octobre 2007 à 17:53 (CET)

OK. J'écris donc la nouvelle intro vers le 7 octobre. Ambigraphe, le 30 octobre 2007 à 18:49 (CET)

Nouvelle intro

Youpi ! C'est effectivement plus net et clair. Malgré cela, j'ai vraiment un problème avec la phrase "une équation à coefficients rationnels peut définir simultanément une courbe rationnelle, réelle, complexe, etc." C'est difficile à expliquer pourquoi (à part le fait que courbe rationnelle veut plutôt dire autre chose, mais cela, c'est juste un problème d'écriture, ce n'est pas mon pb principal). J'aurais tendance à dire que les questions du rapport équation/courbe sont assez subtiles et seraient mieux laissées à la fin. Je crois que mon état d'âme vient de ce que l'identification de la courbe avec ses points est ok seulement d'un point de vue élémentaire. Ma tentation serait d'enlever cette phrase de l'intro (ce qui permet d'ailleurs de rapprocher la condition essentielle de non-singularité de l'équation). Mais on attend peut-être d'autres réactions. il faut aussi rajouter le corps pour la définition formelle, mais cela c'est une broutille. Merci en tout cas de t'y être mis. --Cgolds 7 novembre 2007 à 20:53 (CET)

Argh, on est en direct ! Je te laisse faire tranquillement, désolée. --Cgolds 7 novembre 2007 à 20:58 (CET)

OK pour enlever la phrase gênante. C'était une tentative maladroite pour montrer que le corps dans lequel sont pris les coefficients et le corps de définition des points ne sont pas forcément les mêmes. Ambigraphe, le 7 novembre 2007 à 21:55 (CET)

Au fait, est-ce que c'est possible d'expliquer quelque part pourquoi il y a des coefficients indicés de 1 à 6 en sautant le 5 ? Ambigraphe, le 7 novembre 2007 à 21:56 (CET)

Oui, mais l'explication 'naturelle' que je connais passe par le théorème de Riemann-Roch : à cause du genre 1 de la courbe, l'espace des fonctions définies sur la courbe ayant un pôle d'ordre au plus n à l'origine est de dimension n, on prend une fonction avec un pôle d'ordre 2 (c'est x), une avec l'ordre 3 (c'est y), et dans l'espace des fonctions avec un pôle d'ordre au plus 6, il y a déjà 1, x, y, xy, x^2, x^3, y^2, d'où une relation linéaire entre ces fonctions qui est la relation de Weierstrass. La forme standard est choisie de sorte que les indices des coefficients a_i pointent sur cette question d'ordre du pôle en 0, par exemple a_1 est le coefficient du terme xy qui a un pôle 5, a_3 du terme y qui a un pôle 3, etc. Il n'y a pas de a_5 parce qu'il n'y a pas de fonction sur la courbe avec exactement un pôle simple à l'origine. Je pense qu'il faut soit faire un section générale sur un corps quelconque et y mettre ce genre de choses, soit simplement utiliser la section 6. --Cgolds 7 novembre 2007 à 23:13 (CET)

PS: Ceci montre d'ailleurs un peu mieux l'origine de ma gêne: l'association courbe-équation via les points est perturbante, c'est pourquoi j'avais été vague en parlant d'associer l'équation et la courbe. Sur R, on vise un public plus scolaire et cela me semble ok de parler du graphe, des points etc. Mais en général, l'association entre l'équation et la courbe vient par exemple de la relation que je viens de décrire, on a x et y comme fonctions sur la courbe. C'est le problème du sujet :certains aspects sont assez simples et on ne voit pas pourquoi on s'interdirait d'en parler, mais si on veut rendre les choses bien précises en général, il y a dessous un bagage de géométrie algébrique.--Cgolds 7 novembre 2007 à 23:19 (CET)

une bête question

(je ne connais pas la théorie des courbes elliptiques pour l'instant) Je me pose une question sur la suite de la phrase "la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a de multiples conséquences. En voici deux:": sont-ce des théorèmes ? sont-ce des théorèmes modulo la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer ? et auquel cas ne devrait-on pas enlever le terme "théorème" ?Claudeh5 (d) 4 janvier 2008 à 20:47 (CET)

Excuse-moi, j'ai raté ton intervention jusqu'à maintenant ! Tu as raison, je devrais être plus précise : ce sont des théorèmes modulo la conjecture (disons que le théorème est :si la conjecture de BSD est vraie, et etc. ,alors...). Je corrige, merci beaucoup ! --Cgolds (d) 6 janvier 2008 à 03:38 (CET)

Apparence des formules

Suite à un problème d'affichage évident, j'ai eu l'échange suivant avec Flo, qui a répondu comme toujours avec expertise et rapidité (merci !). Je recopie ici pour information:

"Cher Flo, Comme tu es l'expert WikiTeX ici, est-ce que tu pourrais m'expliquer le mystère suivant. Dans courbe elliptique#courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes, j'ai tapé :

<math>\phi </math> tel que <math>\phi( 0) =0_E</math> et <center><math> \phi: {\mathbb C}/L \rightarrow E({\mathbb C}), \quad \phi(z)=(\wp(z, L), \wp'(z, L)).</math></center>,

donc avec le même <math>\phi</math> partout. Sauf qu'il s'écrit de deux façons différentes selon que la formule est centrée ou non, comme je le prouve en enlevant les nowiki:

$\phi$ tel que $\phi (0)=0_{E}$ et

$\phi :{\mathbb {C} }/L\rightarrow E({\mathbb {C} }),\quad \phi (z)=(\wp (z,L),\wp '(z,L)).$

Alors là... je sèche. Est-ce que tu sais ce qui se passe ? Merci beaucoup à l'avance !--Cgolds (d) 23 janvier 2008 à 23:33 (CET)

Bonsoir,

en fait c'est un problème classique et loin d'être résolu. Ca n'a bien sûr rien à voir avec l'alignement de la formule, mais bien de son rendu (LaTeX ou HTML). Il existe deux variantes de phi minuscule : celle avec une boucle et un jambage ($\varphi$) et celle avec un trait en travers ($\phi ~$). Elles se situent aux positions 966 et 981 de la Table de caractères Unicode. Suivant les polices, les deux sont présentes, dans un ordre quelconque, ou alors juste une. Par exemple, Symbol et Microsoft Sans Serif les comportent toutes les deux, mais dans l'ordre contraire : φ ϕ donne φϕ en Microsoft Sans Serif et φϕ en Symbol. La plupart des polices ne comportent que la version avec jambage.

Enfin tout ça pour dire que c'est le souk. Résultat : en LaTeX, \phi donnera toujours la version avec trait en travers, et \varphi celle avec jambage. Par contre, quand LaTeX est transformé en HTML par Mediawiki, \phi est transformé en φ dont le rendu dépend de la police utilisée par ton navigateur. Généralement, on obtient la version avec jambage.

Solution ? Rien d'idéal. On peut utiliser partout \varphi ou \phi~ (note le tilde pour forcer PNG) si on veut un rendu uniforme, sachant qu'il ne sera pas transformé en HTML (avec les défauts d'alignement que cela implique). On peut laisser \phi dans les formules générées en HTML et utiliser \varphi dans celles générées en PNG, en espérant que le lecteur a bien l'option « HTML si très simple » pour son Rendu des maths et que sa police rend bien φ comme \varphi. On peut enfin laisser \phi partout, comme l'état actuel de ton article, en laissant le lecteur se débrouiller pour faire le lien.

Tu vois, c'est le genre de trucs qui me font détester l'informatique... j'espère quand même t'avoir aidée ! — Florian, le 24 janvier 2008 à 23:36 (CET)

Oui, bien sûr, beaucoup (en particulier en me réconfortant car j'ai pensé d'abord que je ne voyais pas une erreur évidente de codage et surtout en m'évitant de passer plus de temps à cela). C'est vraiment décourageant car je trouve que pédagogiquement une bonne présentation lisible est fondamentale en maths - et ici c'est déjà un problème en général. La solution évidente est de se contenter d'articles sans formules ou presque. C'est la solution retenue de plus en plus par les encyclopédies qui font 'référence' (je suis toujours amusée par l'aura dont bénéficie ici l'Universalis qui évidemment était remarquable dans les années 70 mais a maintenant la politique que je décris - plus de formules, trop difficiles à mettre en page). Amha, c'est une solution qui évite et ne résout pas les problèmes profonds d'explication des maths, donc bouh...Bon, si je peux aider, dis-le moi (vu mon incompétence informatique, ce serait plus pour soutenir toute demande de ta part là-dessus, ou rédiger des exemples LaTex, que pour trouver une solution technique). Et encore une fois merci beaucoup. Je recopie cette discussion sur la page de discussion de l'article, au moins cela avertira les gens du problème. Toutes mes amitiés, --Cgolds (d) 25 janvier 2008 à 10:19 (CET)

"

Fonctions zeta

Bonjour, la fonction zeta sur un corps fini est definie deux fois dans l'artcile: une fois dans BSD, une autre fois dans Courbes elliptiques sur un corps fini (o`u il manque deux parentheses fermantes). Sur l'article lui-meme: travail impressionnant, bravo !124.16.148.125 (d) 24 avril 2008 à 08:19 (CEST)

J'ai rajouté une allusion à la première définition, je ne suis pas sûre de la bonne solution (entre indépendance de la lecture des sections et élimination des redondances), je suppose qu'il va plutôt falloir dégager vers d'autres articles. Il y a encore beaucoup de travail. Avis bienvenus ! Merci pour les parenthèses. Cordialement, --Cgolds (d) 25 avril 2008 à 10:00 (CEST)

Je pense qu'il y a matiere a faire un article sur les fonctions zeta de Weil.124.16.148.125 (d) 27 avril 2008 à 12:08 (CEST)

Oui, l'article existe (Fonction zêta de Hasse-Weil), mais doit être repris. Comme l'article sur la fonction zeta de Riemann était en cours de remaniement, cela semblait utile d'attendre un peu pour cela. Mais c'est sans doute une bonne idée de tout dégager vers celui-ci. Seul bémol : cela réduit l'article sur courbe elliptique à la loi de groupe principalement, sur différents corps (j'étais en train de penser que multiplication compelxe serait mieux à part aussi). Mais cela clarifie sans doute les choses, surtout avec un affichage mathématique assez médiocre. Cordialement, --Cgolds (d) 27 avril 2008 à 14:58 (CEST)

Addition des points

Je pense qu'il est inutile d'évoquer Bézout. En effet, si on veut juste dire que la sécante coupe au plus un troisième point, c'est Bézout avec une droite et ça se réduit à dire qu'un polynôme à une variable de degré au plus 3 a au plus 3 solutions. En fait on veut quelque chose de plus précis (avec les multiplicités d'intersection), mais alors c'est plus simple de faire le calcul directement (comme c'est fait dans l'article). D'autre part le "niveau lycée" me parait un peu abusif, Lycée Louis Legrand peut-être :) Liu (d)

pourquoi oser écrire une équation inhomogène en dimension dans le calcul du point R: XR= s^2 - xP-xQ

dimensionnellement,cette équation semble fausse, la pente s^2 ne peut avoir une dimesion de coordonnée x, où est le gag?

si, si , comme y^2=x^3 (à des constantes près),s^2=y^2/x^2 a bien la dimension qui convient...--Dfeldmann (d) 11 mai 2013 à 22:21 (CEST)

Correction de valeurs numériques (erreurs de frappe ?)

Concerne la section Courbes elliptiques sur le corps des nombres rationnels,Exemples, La courbe d'équation y²=x3-36x

Selon mes propres calculs le point 2P se trouve a (25/4 , 35/8) et non pas a (25/24,35/288)

D'ailleurs les valeurs (25/4 , 35/8) redonnent bien le triangle (7/10, 120/7, 1201/70)

J'ai aussi quelques doutes sur le point 3p que je trouve en (16428/529 ,2065932/12167) A partir de ces valeur on trouve le triangle (4653/851 , 3404/1551 , 7776485/1319901) et après a voir mis un dénominateur commun on retrouve bien le triangle de Fermat:

(4653*1551/851*1551 ,3404*851/851*1551 ,7776485/1319901)

soit finalement

(7216803/1319901 ,2896804/1319901 ,7776485/1319901)

Je joins la source du programme c++ qui m'a permit d'arriver a ces conclusions.

( a compiler avec la librairie GMP)

g++ elliptic.cpp -lgmpxx -lgmp -Wall -o elliptic

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <string>

#include <gmpxx.h>

using namespace std;

typedef mpq_class mpq ;

typedef mpz_class mpz ;

//retourne l'inverse de x

mpq inv(mpq x)

{

mpq ret ;

ret.get_num()=x.get_den();

ret.get_den()=x.get_num();

return ret ;

}

//addition de deux points distincts sur la courbe elliptique

void add(mpq xp,mpq yp,mpq xq,mpq yq,mpq *xr,mpq *yr)

{

mpq iv = inv(xp-xq);

mpq s = (yp-yq)*iv;

mpq t = (yq*xp-yp*xq)* iv ;

*xr = s*s-xp-xq ; *yr = -s*(s*s-xp-xq)-t ;

(*xr).canonicalize();

(*yr).canonicalize();

}

//addition d'un point a lui meme

void fois2(mpq xp,mpq yp,mpq *x2p,mpq *y2p,mpq a)

{

mpq iv = inv(2*yp);

mpq s = (3*xp*xp-a*a)*iv;

mpq t = yp-(3*xp*xp-a*a)*xp*iv;

*x2p=s*s - 2*xp;

*y2p=-yp + s*(xp-(*x2p));

(*x2p).canonicalize();

(*y2p).canonicalize();

}

//retourne zero si le point x,y est bien sur la courbe elliptique

mpq ison(mpq x,mpq y,mpq a)

{

return y*y-(x*x*x-a*a*x);

}

//Calcul des cotes du triangle correspondant au point x,y

void triangle(mpq *ca,mpq*cb,mpq*cc,mpq x,mpq y ,mpq a)

{

*ca = (x*x-a*a)/y;

*cb = 2*a*x/y;

*cc = (x*x+a*a)/y;

(*ca).canonicalize();

(*cb).canonicalize();

(*cc).canonicalize();

*ca = abs(*ca);

*cb = abs(*cb);

*cc = abs(*cc);

}

//retourne zero si a,b,c forment un triangle rectangle

mpq rectangle (mpq a ,mpq b,mpq c)

{

return c*c-b*b-a*a ;

}

int main()

{

mpq ca,cb,cc,a,xp,yp;

/*

a = 7 ;

xp = 25 ;

yp = 120 ;

//*/

//*

a = 6;

xp = 12;

yp = 36;

//*/

cout<< "\n Point P "<<endl;

cout << "ison="<< ison(xp,yp,a)<< endl ;

cout<<"xp=" << xp <<" yp="<<yp<<endl ;

triangle(&ca,&cb,&cc,xp,yp ,a);

cout <<"ca=" <<ca << "\ncb=" << cb << "\ncc=" << cc << endl ;

cout<<"Surface=" <<ca*cb/2 <<endl;

cout<< "\n Point 2P "<<endl;

mpq x2p,y2p ;

fois2(xp,yp,&x2p,&y2p,a) ;

cout << "ison="<<ison(x2p,y2p,a)<< endl ;

cout<<"xp=" << x2p <<" yp="<<y2p<<endl ;

triangle(&ca,&cb,&cc,x2p,y2p ,a);

cout <<"ca=" <<ca << "\ncb=" << cb << "\ncc=" << cc << endl ;

cout<<"Surface=" <<ca*cb/2 <<endl;

cout<< "\n Point 3P "<<endl;

mpq x3p,y3p ;

add(xp,yp,x2p,y2p,&x3p,&y3p) ;

cout << "ison="<<ison(x3p,y3p,a)<< endl ;

cout<<"xp=" << x3p <<" yp="<<y3p<<endl ;

triangle(&ca,&cb,&cc,x3p,y3p ,a);

cout <<"ca=" <<ca << "\ncb=" << cb << "\ncc=" << cc << endl ;

cout<<cc*cc-ca*ca-cb*cb <<endl ;

cout<<"Surface=" <<ca*cb/2 <<endl;

return 1;

}

mes sources:

Wikipédia

https://dms.umontreal.ca/~mlalin/clubgeometryshow.pdf

http://www.numdam.org/article/SPHM_1988___2_A1_0.pdf

. Papaoscar27 (discuter) 15 mars 2024 à 16:25 (CET)

Si vous le dites,  Papaoscar27 :… N’empêche que le point (x,y)=(25/24, 35/288) vérifie bien 6y^2=x^3-x (pas besoin de grandes théories pour le contrôler). Êtes vous sûr d’avoir la bonne courbe (et c’est le point -2P, de toute façon)?. En supposant la bonne foi, évitez à l’avenir ce genre de correction sans justification, qui ne peut que susciter la méfiance. Cordialement Dfeldmann (discuter) 15 mars 2024 à 17:50 (CET)

Oups… J’ai été un peu vite (et vous aussi) : votre point est sur la courbe réduite et le nôtre sur la courbe initiale. Bon, du coup je vous ai accusé bien à tort, vous m’en voyez désolé ; reste, comme je vous le disais, que dans des cas de ce genre, mieux vaut passer par la page de discussion : après tout, rien ne presse. Cordialement Dfeldmann (discuter) 15 mars 2024 à 17:55 (CET)

Comme c'est la première fois que j' interviens sur wikipedia je ne connaissait pas les pages de discussion.

Je suis d'accord, il vaux mieux dialoguer avant.

Toutes mes excuses.

Alain Poret Papaoscar27 (discuter) 15 mars 2024 à 19:50 (CET)