Discussion:Algèbre

Il faudrait peut-être faire de "algèbre" une page de désambiguation (cf Algèbre sur un corps.). Je n'ai pas osé car la plupart des liens vers ici concernent réellement l'algèbre en général. FvdP (d) 13 jul 2004 à 22:51 (CEST)

Proposition de refonte complète de l'article "Algèbre"

Je propose de refondre entièrement la page "Algèbre". Si l'introduction historique est acceptable, le corps de l'article, consacré aux équations algébriques, à la factorisation et à la méthode symbolique est de qualité très insuffisante, même pour une approche élémentaire de l'algèbre. L'article entretient la confusion entre les équations algébriques, les équations fonctionnelles et leur représentation géométrique dans un plan cartésien. Au lieu de traiter la méthode de résolution des équations polynomiales (après les avoir définies correctement !), l'article enchaîne les définitions maladroites et les contre-vérités. Un exemple entre tous : "Les équations cubiques sont écrites sous la forme y = a x^3 + b x^2 + c x + d. Sous cette forme, elles ont une ou trois intersections avec l'axe des abscisses suivant les valeurs des coefficients. La courbe démarre du bas, à gauche, se stabilise, s'incurve en descendant, se stabilise, s'incurve en remontant en haut à droite." Un bachelier sait que ce résultat est totalement faux ! La factorisation, même présentée de façon élémentaire, doit s'appuyer sur la méthode de résolution des équations algébriques, qui aurait du être préalablement exposée. Que penser aussi de cette phrase, puisée dans le paragraphe "Deux variables" : "Quelquefois, nous obtenons des expressions telles que : 3 x^2 + 8 xy + 4 y^2. Dans cette situation, la forme factorisée ressemblera à : (3x + 2y)(x + 2y)." Il aurait fallu définir les polynômes à 2 variables, définir la factorisation... Bref, il y a du travail ! KMan

Proposition de refonte de l'article "Algèbre" / suite

Je viens de me rendre compte que cet article est la traduction d'un article en langue anglaise, ce qui n'enlève rien au fait que son contenu est très insuffisant. Par contre, cela l'explique en partie, car l'approche des mathématiques au niveau scolaire dans les pays anglo-saxons est très différente de la nôtre. J'ai réécrit la partie historique, en essayant de donner une vue globale des concepts et des théories inventées par diverses générations de mathématiciens. Je pense qu'en raison du caractère très général du mot 'algèbre', qui est un chapeau qui recouvre à la fois une histoire très riche, une grande variété de concepts mathématiques et aujourd'hui de théories aux multiples développements, il faut garder à l'article ce caractère de chapeau en évitant de développer une toute petite partie de l'algèbre, à savoir les équations algébriques de degré 1 ou 2. Je propose donc de transférer provisoirement cette rédaction - par égard pour son auteur - dans la page 'équation-discussion', en attendant une reprise du contenu dans cet article (par moi-même, ou toute personne qui voudrait prendre ce sujet !). KMan 7 déc 2004 à 09:05 (CET)

Critiques

L'article est très agréable à lire. Cependant je trouve qu'il y a des inexactitudes - n'étant pas algébriste, encore moins versé dans l'histoire de l'algèbre, je préfère consigner mes critiques ici plutôt que de risquer de malmener le texte. D'abord, on ne parle pas des mathématiciens indiens (en particulier pour la numération de position). Ensuite, l'impossibilité de résoudre en général l'équation du 5e degré me semble dûe à Abel tandis que Galois a su déterminer quand une équation (mettons du 5e degré) est résoluble et quand elle ne l'est pas. Enfin il me semble que c'est Kummer qui a introduit, sans doute de manière non dégagée, la notion d'idéal dans son étude du "théorème" de Fermat. Par ailleurs (mais cela peut être un choix) il n'y a rien d'explicite sur la géométrie algébrique. CD 8 fev 2005 à 00:01 (CET)

Réponse aux critiques

Merci d'abord de votre appréciation sur l'agrément de lecture, c'est un des objectifs d'un article à vocation encyclopédique...! Un autre objectif est l'exactitude, et je vais tenter de répondre rapidement : - les mathématiciens indiens se sont plutôt distingués dans l'arithmétique (dont la remarquable numération de position), d'où leur absence ici - d'accord pour Abel et Galois, il s'agit d'un "raccourci" - d'accord pour Kummer, mais là aussi on peut parler de ceux qui ont entrevu le concept, ceux qui l'ont utilisé occasionnellement, ceux qui l'ont défini et formalisé, ceux qui l'ont généralisé... cela fait parfois beaucoup de monde et il faut faire des choix pour que la rédaction reste fluide, sans trahir l'histoire... - l'absence de la géométrie algébrique est un choix, car c'est une discipline à part entière qui mérite d'être développée en tant que telle. KMan 8 fev 2005 à 17:47 (CET)

Proposition de refonte complète de l'article "Algèbre" (ter)

Beaucoup trop à la gloire des « arabes » au rôle pourtant faible, souvent de simples traducteurs des Grecs (par le syriaque) ou des Indiens (par le persan). Rien sur les Indiens. Des imprécisions comme dire que Al-Khawarizmi (El-... en français, Al- c'est la mode "moderne" car anglomane, cela fait sérieux pour certains) est arabe alors qu'il est persan !!!

Antiquité grecque et essor islamique

Il me semble que ce chapitre doit être revu. On parle du Papyrus Rhind (égyptien) puis des mathématicien de langue arabe (oui Al Kwarismi est persan mais écrit en arabe) qui ne sont pas, loin de là, de simples copistes (n'en déplaise à l'intervention précédente), puis de Viète (Europe XVI eme) pour revenir au tablette Babylonniennes (antérieures au Papyrus Rhind) puis parler de Diophante (grec IV eme siècle). Bref, un beau désordre... . Il faudrait aussi être clair : la plus ancienne trace est-ce le Papyrus Rhind ? les tablettes babyloniennes ?HB 3 avril 2006 à 22:02 (CEST)

Articulation

Comment articuler cet article avec histoire des mathématiques et histoire des polynômes ? HB 3 avril 2006 à 22:02 (CEST)

encore un autre sens

Je trouve qu il manque aussi un autre sens associé au mot algèbre, celui de l'Algèbre sur un corps commutatif K ou K-algèbre.

Une algèbre sur un corps K, est un quadruplet (E,+,x,.), où (E,+.) est un K-espace vectoriel et x est une loi de composition interne sur E, distributive à droite par rapport à l'addition et qui vérifie

       (a.u)x(b.v) = (ab).(u x v) pour tout couple (a,b) dans K² et tout couple (u,v) dans E².

Si la multiplication est commutative, on dit que l'algèbre est commutative. Si la multiplication est associative, on dit que l'algèbre est associative.

exemple :

L ensemble des fonctions en escalier à valeurs réelles sur un intervalle I=[a0, b0], (a0, b0) dans R² est une sous-algèbre de R, R étant lui-même une algèbre.

Déjà en avril 2004, se posait la question de lever l'ambiguité. Il existe un article traitant du sujet qu vous évoquez algèbre sur un corps qui est mis dans les liens internes. On a choisi de ne pas faire de page d'homonymie mais il est peut-être bon d'être plus explicite. Je tente une modification. HB 24 avril 2006 à 18:12 (CEST)

Proposition de coupure d'article en deux

Sur la version du 13 Nov 2006.

L'article algèbre traite pour l'essentiel de l'histoire de l'algèbre. Je propose de transférer cette information dans un article Histoire de l'algèbre, et de recentrer l'article sur l'algèbre, en proposant seulement un résumé de l'histoire de ce domaine des mathématiques, et en introduisant plus de précisions sur ses sous-domaines.

Ektoplastor, le 13 nov 2006, 22:58 CEST.

Section syntaxe

La section syntaxe qui vient d'être ajoutée ne me semble pas à sa place. Il s'agit de la description d'une grammaire formelle avec référence à la grammaire de van Wijngaarden (tiens un lien rouge) qui n'a pas sa place dans un article de base censé présenter succintement l'algèbre de base. De plus non sourcée, et hors contexte elle me semble trrès technique et difficile d'abord. HB (d) 28 juin 2012 à 16:33 (CEST)

même avis c'est hors sujet, ce genre de choses n'aurait sa place que dans un article sur la formalisation des math. sur machine, mais sûrement pas ce paragraphe tel quel. Proz (d) 1 juillet 2012 à 11:17 (CEST)

Pierre Fermat n'est.--Julian Grillo (d) 30 mars 2013 à 20:11 (CET)

"Calcul sur des lettres"

Je ne suis pas puriste, mais cette phrase "calcul sur des lettres" dans l'introduction me semble complètement incongrue.

Certes, en cours de maths, c'est ce qui se passe, mais ce n'est pas universel, ni une définition.

Contre-exemple : dans de nombreux domaines, comme l'informatique, les "lettres" ne sont pas appropriées ou ne suffisent plus. Il faut parler de "variables", non ? Et ça peut être "$Casimir", peu importe.

Confusion de siècles ?

Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe^{[réf. nécessaire]}

Comment aurait-il "être parmi les premiers" alors même que Gerbert d'Aurillac (Sylvestre II), pape de l'an mil, les avait dès son époque imposés à toute la chrétienté ? 212.198.152.174 (discuter) 25 décembre 2014 à 11:25 (CET)

Il semble qu'il soit bien imprudent de dire que Gerbert aurait  «imposé» les chiffres arabes à toute la chrétienté. Il a tenté une popularisation par l'introduction d'un abaque à jetons mais rares sont les ouvrages écrits où apparait l'écriture décimale avec chiffres indiens avant le XII^e. Sur l'introduction véritable, la source que voici (Alain Schärlig, Compter avec des jetons: tables à calculer et tables de compte du Moyen Age à la Révolution, PPUR presses polytechniques, 2003, p.41) a l'avantage d'être accessible et confirmer le rôle important de Fibonacci, mais elle est un peu trop tranchée. André Allard dans Histoire des sciences arabes, tome 2,  «L'influence des mathématiques arabes dans l'Occident médiéval» consacre une vingtaine de page (pp 199-200; 220-229) pour traiter de l'algèbre et des chiffres indiens. Il indique la rareté des ouvrages médiévaux utilisant les chiffres arabes avant le XII{^e siècle (un seul ouvrage perdu dans un monastère et datant de 976), précise le rôle de Gerbert (calcul avec l'abaque) cite plusieurs traductions de l'oeuvre d'Al-khwarismi au XII^e siècle et reconnait (p. 208) à Fibonacci, avec son Liber abaci (très fortement inspiré des ouvrages d'al-Kwharismi) un rôle d'initiateur pour certaines méthodes de calcul (p. 208) et un rôle fondamental dans l'évolution scientifique occidentale (p. 225).

Concernant le contenu de l'article, il me semble perfectible

• Gerbert n'a pas apporté le zéro en Europe mais un système d'abaque à jetons avec chiffres arabes
• Le découpage me semble à revoir : la section titrée XVI^e et XVII^e parle de Gerbert (bien antérieur) et de D'alembert, Gauss et Galois bien postérieur. Et on finit la section en parlant d'Euler (très antérieur à Galois)
• on mélange la thématique de la numération et la thématique de l'algèbre et cela me semble une erreur
• la véritable révolution du XVIe et XVIIe est le passage de l'algèbre rhétorique (par le discours) à l'algèbre symbolique ( introduction de lettre pour les variables, utilisation de l'exposant). Michel Serfati dans la révolution symbolique cite non seulement Viete, mais Descartes et Leibniz.

Je proposerais bien un autre plan : 1. Antiquité - 2. Monde arabo-musulman - 3. Renaissance en Europe (on y mettrait les traductions du XII^e sans s'attarder qur le système de numération un peu hors sujet ici, Fibonacci, l'école Allemande (La coss), l'école italienne (Cardan, Tartaglia,Bombelli la résolution de l'équation de degré 3, l'invention des complexes)) - 3. La révolution symbolique (Viète, Descartes Leibniz) - 4. La résolution algébrique des équations (théorème fondamental de l'algèbre - résolubilité par radicaux) - 5. l'algèbre moderne à laquelle je me garderai de toucher par manque de compétence.

C'est tout ce que je peux faire, très maladroitement sur cet article car je n'ai pas d'idée précise sur ce qu'on appelle vraiment l'algèbre aujourd'hui, ni ce que serait la géométrie algébrique et l'algèbre géométrique. Bref, créer un tel article me parait très ambitieux et n'a aucune chance de recueillir un quelconque consensus tant sur le plan que sur le contenu à cause de la variété de traitement du sujet dans les sources disponibles. HB (discuter) 25 décembre 2014 à 14:49 (CET)

La proposition me semble bien, et comme dans son état actuel l'article est très criticable particulièrement sur l'aspect historique (sans source en majorité, chaque phrase ou presque paraît contestable), et aussi dans la partie algèbre moderne, Artin mais pas Emmy Noether, les livres de Bourbaki mais pas celui de van der Waerden, la conclusion très naïve sur l'unité des mathématiques ... Un tel article devrait à terme probablement être très généraliste et pointer sur des articles spécialisés, dont pourraient faire partie un ou des articles "histoire de l'algèbre" (découpage par périodes éventuellement, ce que tu proposes peut s'arrêter à Lagrange, Gauss ou Galois). Par ailleurs je ne sais pas s'il faut tenir compte de l'article théorie des équations (histoire des sciences), au titre impossible il faut bien le dire (comparer les stat. de consultation avec celles de cet article), mais dont le sujet est quand même me semble-t-il l'histoire de l'algèbre jusqu'à Galois. Il est nettement au dessus de ce qu'il y a ici, même si je m'aperçois en le relisant aujourd'hui qu'il est beaucoup plus contestable (au moins par endroits) que dans mon souvenir. Proz (discuter) 27 décembre 2014 à 16:36 (CET)

Ah oui, j'avais oublié théorie des équations (histoire). Il ne faut donc pas développer ici la partie histoire mais faire un résumé succinct et renvoyer sur l'autre article. Il y a encore une fois dispersion et répétition entre plusieurs articles (de niveau très inégal) sur des thèmes tournant autour de l'algèbre. Chronologie de l'algèbre, comme toute chronologie, me convainc assez peu car il s'agit d'un simple inventaire de faits sans en expliquer l'importance ni les relations de cause à effet. Théorie des équations (histoire) traite aussi principalement d'algèbre. Il y a aussi le modeste doublon histoire des polynômes que j'ai commis dans mes débuts et qui a si peu de lecteurs qu'une suppression pourrait s'envisager. Tout cela demande une réflexion nécessaire pour articuler les différents articles et faire de celui-ci un article généraliste si on a des sources pour en cerner le contenu. HB (discuter) 29 décembre 2014 à 13:43 (CET)

J'ai essayé de régler quelques problèmes soulevés par HB. Il reste du travail... 30 décembre 2014 à 15:23 (CET)

D'accord avec HB (j'espère ne pas avoir coupé ton élan). Tout cela est à refonder. Une chronologie peut avoir un sens comme article annexe, comme on peut en trouver dans certains livres d'histoire, mais pas sur une période aussi longue à mon avis (d'ailleurs c'est de plus en plus douteux dans les choix en progressant), et sources nécessaires bien-sûr. Proz (discuter) 6 janvier 2015 à 22:15 (CET)

Kummer et les idéaux

L'article comporte ces deux phrases : « Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. »
Je ne sais pas ce qu'il en est de Gauss, mais je crois savoir que (comme on l'a à peu près dit plus haut) la notion d'idéal est déjà plus qu'en germe chez Kummer. Si je ne me trompe, la première publication où il définit sa notion de nombre complexe idéal est son article « Zur Theorie der complexen Zahlen », Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 319-326 (1847), reproduit dans Ernst Eduard Kummer, Collected Papers, Volume I, Springer, 1975, p. 203 et s. : « einer eigenthümlichen Art imaginärer Divisoren, welche ich ideale complexe Zahlen nenne ».
Commentant l'introduction de ces « nombres complexes idéaux » par Kummer, André Weil, dans l'introduction dudit volume, p. 5, dit : « To appreciate the boldness of this step, one must realize that such men as Gauss, Dirichlet and Eisenstein had shied away from it. » Je me demande donc s'il est bien vrai que, comme le dit notre article, les idéaux avaient été entrevus par Gauss.
P. 10, Weil écrit encore : « He [= Kummer] lacks the general concept of an algebraic integer, and is therefore unable to develop a proper ideal theory for the fields he must now study [à savoir certaines extensions de corps cyclotomiques]. For the cyclotomic fields generated by roots of unity of any order [mais pas pour les extensions de ces corps qu'il étudie maintenant], he eventually developes a complete ideal-theory (...) » Je me demande donc si la seconde des deux phrases de notre article que j'ai citées plus haut ne gagnerait pas à être remplacée par celle-ci : « Dedekind définit les idéaux (déjà présents plus qu'en germe dans la notion de nombre complexe idéal introduite par Kummer), qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. »
Enfin, j'aimerais une référence pour la première des deux phrases de notre article que j'ai citées, parce qu'en feuilletant ledit volume, je n'ai pas eu du tout l'impression que Kummer possédait les notions d'anneau et de corps. Puisque Kummer est mentionné dans la nouvelle forme que je propose pour la seconde phrase, on pourrait peut-être supprimer la première phrase. Marvoir (discuter) 24 novembre 2019 à 17:18 (CET)

Pas de problème pour moderniser le contenu de l'article (il date de décembre 2004 et était déjà sans source). Parler des nombres complexes idéaux de Kummer me parait en effet nécessaire. Donc feu vert pour ma part pour ton changement.

En survol de l'article cependant, il me semble que l'apport de Gauss est sous évalué, non pas dans la notion d'idéal (je ne vois pas dans mes sources qu'on puisse lui attribuer cela) mais dans la notion d'Entier de Gauss qui donne « la première impulsion de la théorie des nombres algébriques » (voir Dahan-Dalmedico Peiffer, p.269), de son étude détaillé de la divisibilité dans Z[i](bourbaki, Element d'histoire des maths, p.120) à tel point que Kummer reprendra sa terminologie (Dahan-Dalmedico Peiffer, p. 292).

HB (discuter) 25 novembre 2019 à 12:13 (CET)

Puisque tu es d'accord, je vais faire le changement que j'ai proposé (sous une forme peut-être un peu différente). Je pense que tu as raison quant à Gauss et cela peut être mentionné dans un article sur l'algèbre, car la théorie des nombres algébriques peut être considérée comme faisant partie de l'algèbre commutative. Je pense donc que si tu mets quelque chose à ce sujet dans l'article, ce sera bien à sa place. Marvoir (discuter) 25 novembre 2019 à 14:16 (CET)

Lecture

L’autre jour sur le thé j’ai fait un peu de pub Projet:Mathématiques/Le Thé#Vitrac . Je venais de (re)tomber sur : Peut-on parler d’algèbre dans les mathématiques grecques anciennes? bonne lecture ! Malik (discuter) 3 juin 2021 à 22:51 (CEST)

Je viens d’ajouter qlq lignes à la Algèbre#Bibliographie. Malik (discuter) 3 juin 2021 à 22:56 (CEST)