Charge et décharge d'un condensateur

La charge ou décharge d'un condensateur à travers une résistance est une technique utilisée dans le domaine de l'électronique qui permet de concevoir des temporisations ainsi que des filtres.

Montage électrique

Décharge d'un condensateur dans une résistance.

Considérons un condensateur préalablement chargé dans un circuit ouvert avec un dipôle ohmique (Résistance). La fermeture de l’interrupteur permet le passage d’un courant au travers de la résistance. Cette action permet d'équilibrer progressivement les charges respectives des deux bornes du condensateur, et ainsi, de le décharger.

Équations

Les fonctions qui modélisent l'évolution de la tension aux bornes du condensateur sont obtenues en résolvant des équations différentielles d’ordre 1. Ces équations lient l'intensité du courant à la tension aux bornes du condensateur lors des phases de charge et de décharge.

Soit $C$ la capacité du condensateur, $R$ la résistance, $E$ la tension aux bornes du générateur (non représentée sur le schéma ci-dessus) et $U_{c}(t)$ la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. Soit $\tau =R\,C$ où $\tau$ est la constante de temps du circuit. Une modification de R agit en proportion sur $\tau$. Concernant les unités : C est exprimé en farad (soit en A s V⁻¹), R en ohm (soit en V A⁻¹) et t est exprimé en secondes.

Cas de la charge

Le condensateur est initialement déchargé, soit $U_{c}(0)=0$. Une Source de tension E est appliquée aux bornes du condensateur, au travers d'une résistance R.

L'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur est exprimée en fonction du temps $t$ sous la forme de l'équation différentielle suivante :

$$u_{c}:t\mapsto E\left[1-\exp \left({\frac {-t}{\tau }}\right)\right]$$où $t\in \mathbb {R^{+}}$.

Démonstration

On a : $i:t\mapsto C{\frac {\mathrm {d} u_{c}}{\mathrm {d} t}}$

D'après la loi des mailles, $E=u_{c}(t)+u_{r}(t)$

D'après la loi d'Ohm, $u_{r}=Ri(t)$.

De fait, $E=u_{c}(t)+RC{\frac {\mathrm {d} u_{c}(t)}{\mathrm {d} t}}$

Autrement dit, ${\frac {\mathrm {d} u_{c}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}u_{c}(t)={\frac {E}{RC}}$

Il s'agit d'une équation différentielle de degré 1 avec second membre. On obtient une solution de type $u_{c}(t)=C\exp \left({\frac {-t}{RC}}\right)+E$ où $C$ est une constante réelle.

Nous savons que $u(0)=0$. Autrement dit, $C\exp(0)+E=0$ donc $C=-E$

Nous avons alors $u_{c}(t)=-E\exp({\frac {-t}{RC}})+E$ que l'on peut factoriser par $E$.

Nous pouvons donc conclure que $u_{c}:t\mapsto E\left[1-\exp \left({\frac {-t}{RC}}\right)\right]$

 

Cas de la décharge

Le condensateur est initialement chargé, autrement dit $U_{c}(0)=E$. Une résistance R connectée entre ses deux bornes est ajoutée, fournissant donc une moyen de décharger le condensateur.

L'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur, en fonction du temps $t$, lors de sa décharge est décrite par la fonction.

$$U_{c}:t\mapsto E\exp \left({\frac {-t}{\tau }}\right)$$ où $t\in \mathbb {R^{+}}$.

Démonstration

Appliquons ici la convention récepteur pour la résistance. Notons que les résultats sont similaires quelle que soit la convention employée. On a alors $i:t\mapsto C{\frac {\mathrm {d} u_{c}}{\mathrm {d} t}}$

D'après la loi des mailles, $0=u_{c}(t)+u_{r}$

D'après la loi d'Ohm, $u_{r}=Ri(t)$.

De fait, $0=u_{c}(t)+RC{\frac {\mathrm {d} u_{c}}{\mathrm {d} t}}$

Autrement dit, ${\frac {\mathrm {d} u_{c}}{\mathrm {d} t}}={\frac {-1}{RC}}u_{c}$

Il s'agit d'une équation différentielle de degré 1 sans second membre. On obtient une solution de type $u_{c}(t)=C\exp \left({\frac {-t}{RC}}\right)$ où $C$ est une constante réelle.

Nous savons que $u(0)=E$. Autrement dit, $C\exp(0)=E$ donc $C=E$

Nous pouvons donc conclure que $\forall t\in \mathbb {R} ^{+},u_{c}:t\mapsto E\exp({\frac {-t}{RC}})$

 

Courbe de décharge

Courbe de la décharge du condensateur dans la résistance.

Comme le montre l'équation caractérisant $U_{c}(t)\,$, la décharge est une exponentielle décroissante.

Représentée sur des axes normalisés, cette courbe possède les caractéristiques suivantes :

• La tangente à l'origine de l'exponentielle coupe la valeur limite (ici $U_{c}=0$) en $t=\tau \,$,
• $U_{c}(0.69\tau )=0.5\ E$,
• $U_{c}(\tau )=0.37\ E$,
• $U_{c}(3\tau )=0.05\ E$,
• $U_{c}(5\tau )=0.01\ E$.

Le régime est généralement considéré comme étant permanent au-delà de $t=5\tau \,$.

On peut ainsi considérer deux phases chronologiques de la décharge :

• régime transitoire : entre $0$ et $5\tau$,
• régime permanent : au-delà de $5\tau$.

Application

Un exemple d'application de la décharge d'un condensateur à travers une résistance est le capteur anti-remous.

Le capteur ouvre ou ferme un contact en la présence d'eau à un certain niveau d'une cuve. Lors de certains remous du fluide stocké, une commutation intempestive de ce capteur peut se produire. Ces changements d'états peuvent poser soucis si la sortie de ce montage est utilisé sur un circuit numérique tel qu'un Automate programmable industriel

La solution consiste à temporiser la sortie du capteur en intercalant un circuit RC entre le contact et la sortie numérique.

Une telle solution peut être présentée comme ceci :

Dès lors que le contact change d'état, le condensateur va démarrer un cycle de charge ou décharge, selon l'état précédent. Si un deuxième changement se produit rapidement, la tension n'aura que peu évoluée aux bornes du condensateur. Cela élimine donc les changements trop rapides d'états.

Pour compléter ce circuit, un Amplificateur opérationnel monté en comparateur à Hystérésis permet de différencier les niveaux logiques auxquels la sortie passe de l'état actif à inactif. Cela augmente encore le délai, en effet la variation de tension se doit d'être plus importante pour provoquer un changement d'état de la sortie.

Voir aussi

• Condensateur
• Résistance (électricité)
• Source de tension
• Filtre (électronique)