Corrélation partielle

Le coefficient de corrélation partielle, noté ici $r_{AB.C}$, permet de connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d’observations considérées.

Dit autrement, le coefficient de corrélation partielle $r_{AB.C}$ est le coefficient de corrélation totale entre les variables A et B quand on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en termes de C. Il est donné par la formule :

$r_{AB.C}={\dfrac {r_{AB}-r_{AC}\cdot r_{BC}}{{\sqrt {1-r_{AC}^{2}}}\cdot {\sqrt {1-r_{BC}^{2}}}}}$

Démonstration géométrique

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s’appuyer sur l’interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d’observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les coefficients de corrélations entre ces vecteurs sont $r_{BC}=\cos a$, $r_{AC}=\cos b$ et $r_{AB}=\cos c$. Alors la loi fondamentale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

$\cos C={\dfrac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}}={\dfrac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{{\sqrt {1-\cos ^{2}a}}\cdot {\sqrt {1-\cos ^{2}b}}}}$

De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et $r_{AB.C}=\cos C$ est la « corrélation partielle » entre A et B quand C est fixé.

Domaines d'application

La notion de corrélation partielle est utilisée :

• en modélisation par régression linéaire multiple ;
• en analyse de données par iconographie des corrélations.

Références

• (en) G.U. Yule (1897). On the Significance of Bravais' Formulae for regression, &c., in the case of Skew Correlation. Proc. Royal Soc. London Ser. A 60, 477-489.
• (en) R. A. Fisher (1924). The distribution of the partial correlation coefficient. Metron 3 (3–4): 329–332.
• (en) Formules mathématiques dans la section « Description » de l'IMSL PCORR routine
• Michel Lesty, L’Analyse des Données par Iconographie des Corrélations, Monbeaulivre, 2023, 200 p. (ISBN 9789464854329).