Coordonnées de Boyer-Lindquist

Les coordonnées de Boyer-Lindquist^{[N 1]} sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de Kerr^[2] ou d'un trou noir de Kerr-Newmann^[3]. Elles généralisent les coordonnées de Schwarzschild^[2]^,^[3] : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noir^[4]. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métrique^[5]^,^[6]. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axiale^[7].

Présentation

La notation usuelle des coordonnées est $(t, r, θ, ϕ)$ ^[2]^,^[8] ou $(ct, r, θ, ϕ)$ ^[9]^,^[10] avec^[11] :

$t\in \mathbb {R}$ ,
$r\in \mathbb {R}$ ,
$\theta \in \left(0,\pi \right)$ ,
$\phi \in \left(0,2\pi \right)$ .

La métrique de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing, notés ${\boldsymbol {\xi }}$ et ${\boldsymbol {\eta }}$ et respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale^[12]. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes $\xi ^{\mu }$ et $\eta ^{\mu }$ de ${\boldsymbol {\xi }}$ et ${\boldsymbol {\eta }}$ soient $\xi ^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)$ et $\eta ^{\mu }=\left(0,0,0,1\right)$ ^[12]. Ainsi les produits scalaires des vecteurs de Killing sont donnés par les composantes de la métrique^[13] :

{\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\xi }}=g_{tt},\quad {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\eta }}=g_{t\phi },\quad {\boldsymbol {\eta }}\cdot {\boldsymbol {\eta }}=g_{\phi \phi }

.

Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist $(r, θ, ϕ)$ vers les coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ , est donné par^[14]^,^[15] :

x = \sqrt r 2 + a 2 sin θ cos ϕ

,

y = \sqrt r 2 + a 2 sin θ sin ϕ

,

z = r cos θ

,

où $a$ est le rapport entre le moment angulaire et la masse : $a = J / M$ (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).

Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage $3 + 1$ — dit feuilletage de Boyer-Linquist^{[N 2]} — d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la forme^[18] :

\mathrm {d} s^{2}=\left(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{\phi }\mathrm {d} \phi \mathrm {d} t+\gamma _{rr}\mathrm {d} r^{2}+\gamma _{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+\gamma _{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}

.

La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsi^[18] :

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&0&0&\beta _{\phi }\\0&\gamma _{rr}&0&0\\0&0&\gamma _{\theta \theta }&0\\\beta _{\phi }&0&0&\gamma _{\phi \phi }\end{pmatrix}}

$\alpha$ est la fonction lapse^[19]. $\beta$ est le vecteur shift^[19].

Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.

$a$ est le paramètre de Kerr^[20]. Il est défini par $a={\frac {J}{Mc}}$ ^[21]^,^[22] où $M$ est la masse et $J$ est le moment cinétique^[20] ; et est homogène à une longueur^[20].

Deux principales fonctions

$\rho ^{2}$ et $\Delta$ sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour $\rho =0$ ou $\Delta =0$ ^[2]^,^[9].

$\rho ^{2}$ est une fonction des deux coordonnées $r$ et $\theta$ : $\operatorname {\rho ^{2}} (r,\theta )$ ^[23]^,^[24]^,^[25]. Elle est donnée par : $\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$ , tant pour la métrique de Kerr^[26]^,^[27] que pour celle de Kerr-Newman^[28]^,^[29]. Elle est définie de sorte que les composantes $g_{rr}$ et $g_{\theta \theta }$ s'annulent pour $\rho =0$ ^[30]. C'est le cas pour $\left(r,\theta \right)=\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$ ^[2].

$\Delta$ est une fonction de la coordonnée $r$ : $\operatorname {\Delta } (r)$ ^[23]^,^[24]^,^[31]. Elle est définie de sorte que la composante $g_{rr}$ devienne singulière pour $\Delta =0$ ^[30]. C'est le cas pour $r=r_{+}$ et $r=r_{-}$ ^[2]. Les surfaces de coordonnées $r_{\pm }$ sont deux horizons. La surface de coordonnée $r_{+}$ est l'horizon des événements du trou noir^[32] ; celle de coordonnée $r_{-}$ est son horizon de Cauchy^[32].

Troisième fonction

Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée $\Sigma ^{2}$ ^[33]^,^[34]^,^[35]. Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie par^[33]^,^[34]^,^[35] : $\Sigma ^{2}=\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta$ . Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-Newman^[36].

Autres fonctions

$\alpha ^{2}$ , $\varpi ^{2}$ et $\omega$ sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist^[37].

$\alpha$ est la fonction lapse déjà rencontrée^[38]. $\varpi$ est le rayon cylindrique^[38] : $2\pi \varpi =2\pi {\sqrt {g_{\phi \phi }}}$ est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrie^[39]. $\omega$ est la vitesse angulaire des ZAMOs^[38] : $\omega =-\beta ^{\phi }=\left({\frac {\mathrm {d} _{\phi }}{\mathrm {d} _{t}}}\right)_{\mathrm {ZAMO} }$ . Dans le cas de la métrique de Kerr^[37] :

\alpha ^{2}={\frac {\rho ^{2}}{\Sigma ^{2}}}\Delta

^[40] ;

\beta ^{2}={\frac {\beta _{\phi }^{2}}{\gamma _{\phi \phi }}}

^[40] ;

\varpi ^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta

;

\omega ={\frac {2aMr}{\Sigma ^{2}}}

.

Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctions^[39]. Dans le cas de la métrique de Kerr^[41] :

g_{tt}=\beta ^{2}-\alpha ^{2}

^[18] ;

g_{rr}=\gamma _{rr}={\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}

^[18]^,^[42] ;

g_{\theta \theta }=\gamma _{\theta \theta }=\rho ^{2}

^[42] ;

g_{\phi \phi }=\gamma _{\phi \phi }=\varpi ^{2}

^[42].

g_{t\phi }=\beta _{\phi }

^[18].

Histoire

Les éponymes des coordonnées de Boyer-Lindquist^[43] sont Robert H. Boyer (1932-1966) et Richard W. Lindquist^[1]^,^[3]^,^[44].

Notes et références

Notes

↑ En anglais : Boyer–Lindquist coordinates, abrégé en BL coordinates^[1].
↑ En anglais : Boyer−Lindquist foliation^[16]^,^[17].

Références

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Voir aussi

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Dictionnaires et encyclopédies

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Liens externes

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[2] En anglais : Boyer–Lindquist coordinates, abrégé en BL coordinates^[1].

[19] En anglais : Boyer−Lindquist foliation^[16]^,^[17].

[Meier2012235<abbr_class="abbr"_title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.5.1</span>-1] {a et b} Meier 2012, 2^e part., chap. 7, sec. 7.5, § 7.5.1, p. 235.

[Maggiore2018169<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;12.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.5.1</span>-3] {a b c d e et f} Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1, p. 169.

[MisnerThorneWheeler1973877<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;33</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;33.2</span>-4] {a b et c} Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.2, p. 877.

[MisnerThorneWheeler1973880,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;33</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;33.2</span>,_encadré_33.2,_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>,_E,_2-5] Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.2, encadré 33.2, II, E, 2, p. 880, col. 2.

[Rahaman2021280<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;10</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10.7-6] Rahaman 2021, chap. 10, sec. 10.7, p. 280.

[RomanoFurnari2019423<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;15</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;15.6-7] Romano et Furnari 2019, chap. 15, sec. 15.6, p. 423.

[MisnerThorneWheeler1973892<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;33</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;33.4</span>-8] Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.4, p. 892.

[ThorneBlandford20211278<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;26</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;26.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;26.5.1</span>-9] Thorne et Blandford 2021, chap. 26, sec. 26.5, § 26.5.1, p. 1278.

[Lambourne2010193<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.3.1</span>-10] {a et b} Lambourne 2010, chap. 6, sec. 6.3, § 6.3.1, p. 193.

[SoffelHan2019213<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.3.1</span>-11] Soffel et Han 2019, chap. 6, sec. 6.3, § 6.3.1, p. 213.

[Gourgoulhon2023312<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;10</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.2.1</span>-12] Gourgoulhon 2023, chap. 10, sec. 10.2, § 10.2.1, p. 312.

[Maggiore2018171,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;55</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;12.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.5.1</span>-13] {a et b} Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1, p. 171, n. 55.

[Lasota201642_(1.148)<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;1.6.1.1-14] Lasota 2016, n^o 1.6.1.1, p. 42 (1.148).

[HobsonEfstathiouLasenby2009316<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;13.6</span>-15] Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 13, § 13.6, p. 316.

[RomanoFurnari2019423<abbr_class="abbr"_title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;15</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;15.6</span>-16] Romano et Furnari 2019, 4^e part., chap. 15, § 15.6, p. 423.

[Gajic20174015<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.3</span>,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;1.3.3-17] Gajic 2017, sec. 1, § 1.3, n^o 1.3.3, p. 4015.

[ParfreyTchekhovskoy20172,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3-18] Parfrey et Tchekhovskoy 2017, sec. 3, p. 2, col. 2.

[MenonDermer20111103,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>annexe_A,_A.1-20] {a b c d et e} Menon et Dermer 2011, annexe A, A.1, p. 1103, col. 2.

[Komissarov2004429,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2-21] {a et b} Komissarov 2004, sec. 2, p. 429, col. 1.

[Maggiore2018169<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;15.5.1</span>-22] {a b et c} Maggiore 2018, § 15.5.1, p. 169.

[Lawrie2013125<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.5.3</span>_(4.70)-23] Lawrie 2013, § 4.5.3 (4.70), p. 125.

[Maggiore2018169<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;15.5.1</span>_(12.286)-24] Maggiore 2018, § 15.5.1 (12.286), p. 169.

[BelgiornoCacciatoriFaccio201810<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.2.2</span>_(1.34)-25] {a et b} Belgiorno, Cacciatori et Faccio 2018, § 1.2.2 (1.34), p. 10.

[Lawrie2013125<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.5.3</span>_(4.69)-26] {a et b} Lawrie 2013, § 4.5.3 (4.69), p. 125.

[Maggiore2018169<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;12.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.5.1</span>_(12.287)-27] Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1 (12.287), p. 169.

[DezaDeza2014578<abbr_class="abbr"_title="Quatrième">IV<sup>e</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;26</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;26.2,_''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_Kerr_metric-28] Deza et Deza 2014, IV^e partie, chap. 26, sec. 26.2, s.v. Kerr metric, p. 578.

[Jetzer2022113_(4.1)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1,_introduction-29] Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, introduction, p. 113 (4.1).

[DezaDeza2014579<abbr_class="abbr"_title="Quatrième">IV<sup>e</sup></abbr>&nbsp;partie,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;26</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;26.2,_''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_Kerr-Newman_metric-30] Deza et Deza 2014, IV^e partie, chap. 26, sec. 26.2, s.v. Kerr-Newman metric, p. 579.

[Jetzer2022115_(4.13)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.1.2</span>-31] Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.2, p. 115 (4.13).

[HeinickeHehl2017152<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.4</span>,_introduction-32] {a et b} Heinicke et Hehl 2017, sec. 3, § 3.4, introduction, p. 152.

[Maggiore2018169<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;12.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.5.1</span>_(12.288)-33] Maggiore 2018, chap. 12, sec. 12.5, § 12.5.1 (12.288), p. 169.

[HeinickeHehl2017152<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.4</span>,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;3.4.1-34] {a et b} Heinicke et Hehl 2017, sec. 3, § 3.4, n^o 3.4.1, p. 152.

[Chandrasekhar1978406_(3)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2</span>-35] {a et b} Chandrasekhar 1978, § 2, p. 406 (3).

[DermerMenon2009385<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;15</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;15.3,_introduction-36] {a et b} Dermer et Menon 2009, chap. 15, sec. 15.3, introduction, p. 385.

[Throne_1986Thorne_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_198670_(3.5)<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;A,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1</span>-37] {a et b} Thorne et al. 1986, sec. A, § 1, p. 70 (3.5).

[Jetzer2022115_(4.14)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.1.3</span>-38] Jetzer 2022, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.3, p. 115 (4.14).

[ThorneBlandford20211278_(26.70b)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;26</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;26.5,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;26.5.1</span>-39] {a et b} Thorne et Blandford 2021, chap. 26, sec. 26.5, § 26.5.1, p. 1278 (26.70b).

[Cotopoulos2014232<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.3-40] {a b et c} Cotopoulos 2014, sec. 9.3, p. 232.

[Thorne_1986Thorne_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_198670<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;A,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1</span>-41] {a et b} Thorne et al. 1986, sec. A, § 1, p. 70.

[MenonDermer20111104,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>annexe_A,_A.1-42] {a et b} Menon et Dermer 2011, annexe A, A.1, p. 1104, col. 1.

[Thorne_1986Thorne_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_198670_(3.6c)<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;A,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1</span>-43] Thorne et al. 1986, sec. A, § 1, p. 70 (3.6c).

[DermerMenon2009385_(15.23)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;15</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;15.3-44] {a b et c} Dermer et Menon 2009, chap. 15, sec. 15.3, p. 385 (15.23).

[GialisDésert2015336Formulaire_abrégé_de_relativité_générale,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.7</span>-45] Gialis et Désert 2015, Formulaire abrégé de relativité générale, § 2.7, p. 336.

[Snygg1997246<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1</span>-46] Snygg 1997, chap. 9, § 9.1, p. 246.

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