Constante des nombres premiers

En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel $\rho$, compris entre 0 et 1, dont le $n$-ième chiffre binaire après la virgule est 1 si $n$ est premier et 0 si $n$ est composé ou égal à 1.

Description

De façon plus rigoureuse, le développement binaire de $\rho$ correspond à la fonction caractéristique $\chi _{\mathbb {P} }$ de l'ensemble $\mathbb {P}$ des nombres premiers :

$\rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.$

Le début du développement décimal de ρ est : $0{,}4146825098$. Le début de son développement binaire est : $0{,}0110101000$.

On démontre par l'absurde que $\rho$ est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons $r_{k}$ le $k$-ième chiffre de ce développement binaire de $\rho$. Il existe donc deux entiers $k>0$ et $N$ tels que $r_{n}=r_{n+k}$ pour tout $n\geq N$.

Pour $k$ et $N$ comme ci-dessus, choisissons un nombre premier $p\geq N$. Alors, $1=r_{p}=r_{p+k}=r_{p+2k}=\dots =r_{p+pk}$, ce qui est absurde puisque $p+pk=p(k+1)$ est composé.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime constant » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Eric W. Weisstein, « Prime Constant », sur MathWorld