Constante de Landau-Ramanujan

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En théorie des nombres, la constante $b$ de Landau-Ramanujan apparaît dans le résultat de Landau de 1908 qui établit que le nombre d'entiers naturels inférieurs à $x$ qui sont la somme de deux carrés est asymptotiquement équivalent à

{\frac {bx}{\sqrt {\ln x}}}

,

lorsque $x$ tend vers l'infini^[1]. Cette constante a été redécouverte indépendamment par Ramanujan en 1913^[2].

Cette constante se développe en produit eulérien :

b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}\approx 0{,}764~223

(suite A064533 de l'OEIS).

Puisque $ζ(2) = π 2 / 6$ , une expression équivalente est :

b={\frac {\pi }{4}}\quad \prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}\quad \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landau–Ramanujan constant » (voir la liste des auteurs).

↑ Edmund Landau, Über die Einteilung der positive ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate, Arch. Math u. Phys. (3) 13 (1908), 305-312
↑ Lettre à G.H. Hardy du 16 janvier 1913; voir: P. Moree and J. Cazaran, On a claim of Ramanujan in his first letter to Hardy, Exposition. Math. 17 (1999), no.4, 289-311.

(en) Richard E. Crandall et Carl B. Pomerance, Prime Numbers : A Computational Perspective, New York, NY, Springer, 2005 (1^re éd. 2001) (ISBN 978-0-387-28979-3, lire en ligne), p. 80