Constante d'Hermite

En géométrie des nombres, la constante d'Hermite $γ n$ , portant le nom du mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier $n > 0$ . Étant donné un réseau $L$ , on note λ₁( $L$ ) la norme d'un plus court vecteur non nul de $L$ . Alors $\sqrt γ n$ est le maximum de λ₁( $L$ ) sur tous les réseaux $L$ de covolume 1 de l'espace euclidien Rⁿ.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δ_n d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation :

\gamma _{n}=4\left({\frac {\Delta _{n}}{V_{n}}}\right)^{2/n}

où

V_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}

est le volume de l'hypersphère unité de dimension

n

, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des $γ n$ est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues

La valeur exacte de $γ n$ est connue seulement pour $n$ ≤ 8 et $n$ = 24^[1]^,^[2].

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	24
$γ n n$	1	4/3	2	4	8	64/3	64	2⁸	4²⁴

La valeur $\gamma _{2}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur $\gamma _{24}=4$ est atteinte par le réseau de Leech.

Encadrement

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante $γ n$ en fonction du volume $V n$ de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration^[3] :

V_{n}^{-2/n}<\left({\frac {2\zeta (n)}{V_{n}}}\right)^{2/n}\leqslant \gamma _{n}\leqslant 4V_{n}^{-2/n}

.

Le majorant $4V_{n}^{-2/n}$ est inférieur à $n$ pour tout $n$ et équivalent à ${\frac {2n}{\pi \mathrm {e} }}$ quand $n$ tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de $V n$ et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine^[4] :

\gamma _{n}\leq {\frac {1{,}744n}{2\pi \mathrm {e} }}+o(n)

.

La minoration (valide seulement pour $n > 1$ ) implique que $\gamma _{n}>{\frac {n}{2\pi \mathrm {e} }}$ pour $n$ assez grand.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs).

↑ Suite A007361 de l'OEIS.
↑ Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, n^o 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ 1983, p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).
↑ (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, 1973 (lire en ligne), p. 31 et 17.
↑ (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.

[1] Suite A007361 de l'OEIS.

[2] Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, n^o 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ 1983, p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).

[3] (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, 1973 (lire en ligne), p. 31 et 17.

[4] (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.

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