Conjecture de Seifert

En mathématiques, la conjecture de Seifert, aujourd'hui réfutée, était que tout champ de vecteurs continu non singulier sur la 3-sphère a au moins une orbite périodique.

Histoire

Dans un article publié en 1950^[1], Herbert Seifert, démontrant que tout champ de vecteurs suffisamment proche de la fibration de Hopf possède au moins une orbite périodique, remarquait incidemment qu'on ne savait pas s'il en est de même pour tout champ de vecteurs continu sur la 3-sphère. Ce n'est que par la suite que la non-existence d'un contre-exemple fut appelée « la conjecture de Seifert »^[2].

En 1974, Paul Schweitzer construisit un contre-exemple C¹^[3]. En 1988, Jenny Harrison^[4] le modifia en un contre exemple C^{3 – ε}^[5]. En 1993, Krystyna Kuperberg construisit un contre-exemple C^∞^[6]. Des versions ultérieures de sa construction fournirent des contre-exemples préservant le volume^[7], ou analytiques ou linéaires par morceaux^[8]^,^[9], ou encore associés à un champ de vecteurs hamiltonien^[10].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Seifert conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) H. Seifert, « Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 1,‎ 1950, p. 287-302 (lire en ligne)
↑ Étienne Ghys, « Construction de champs de vecteurs sans orbite périodique : d'après Krystyna Kuperberg », Séminaire Bourbaki, vol. 36, n^o 785,‎ 1993-94, p. 283-307 (lire en ligne)
↑ (en) Paul A. Schweitzer, « Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations », Ann. Math., 2^e série, vol. 100, n^o 2,‎ 1974, p. 386-400
↑ (en) J. Harrison, « C² counterexamples to the Seifert conjecture », Topology, vol. 27, n^o 3,‎ 1988, p. 249-278
↑ (en) Krystyna Kuperberg, « Counterexamples to the Seifert conjecture », dans ICM 1998, Abstracts of Plenary and Invited Lectures (lire en ligne)
↑ (en) Krystyna Kuperberg, « A smooth counterexample to the Seifert conjecture », Ann. Math., 2^e série, vol. 140, n^o 3,‎ 1994, p. 723-732
↑ (en) Greg Kuperberg (en), « A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture », Comment. Math. Helv., vol. 71, n^o 1,‎ 1996, p. 70-97, arXiv:math/9504230
↑ (en) Greg Kuperberg et Krystyna Kuperberg, « Generalized counterexamples to the Seifert conjecture », Ann. Math., 2^e série, vol. 143, n^o 3,‎ 1996, p. 547-576 arXiv:math/9802040
↑ (en) Krystyna Kuperberg, « Aperiodic dynamical systems », Notices Amer. Math. Soc., vol. 46, n^o 9,‎ octobre 1999, p. 1035-1040 (lire en ligne)
↑ (en) Victor Ginzburg et Başak Gürel, « A C²-smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in ℝ⁴ », Ann. Math., 2^e série, vol. 158, n^o 3,‎ 2003, p. 953-976, arXiv:math/0110047

[1] (en) H. Seifert, « Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 1,‎ 1950, p. 287-302 (lire en ligne)

[2] Étienne Ghys, « Construction de champs de vecteurs sans orbite périodique : d'après Krystyna Kuperberg », Séminaire Bourbaki, vol. 36, n^o 785,‎ 1993-94, p. 283-307 (lire en ligne)

[3] (en) Paul A. Schweitzer, « Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations », Ann. Math., 2^e série, vol. 100, n^o 2,‎ 1974, p. 386-400

[4] (en) J. Harrison, « C² counterexamples to the Seifert conjecture », Topology, vol. 27, n^o 3,‎ 1988, p. 249-278

[5] (en) Krystyna Kuperberg, « Counterexamples to the Seifert conjecture », dans ICM 1998, Abstracts of Plenary and Invited Lectures (lire en ligne)

[6] (en) Krystyna Kuperberg, « A smooth counterexample to the Seifert conjecture », Ann. Math., 2^e série, vol. 140, n^o 3,‎ 1994, p. 723-732

[7] (en) Greg Kuperberg (en), « A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture », Comment. Math. Helv., vol. 71, n^o 1,‎ 1996, p. 70-97, arXiv:math/9504230

[8] (en) Greg Kuperberg et Krystyna Kuperberg, « Generalized counterexamples to the Seifert conjecture », Ann. Math., 2^e série, vol. 143, n^o 3,‎ 1996, p. 547-576 arXiv:math/9802040

[9] (en) Krystyna Kuperberg, « Aperiodic dynamical systems », Notices Amer. Math. Soc., vol. 46, n^o 9,‎ octobre 1999, p. 1035-1040 (lire en ligne)

[10] (en) Victor Ginzburg et Başak Gürel, « A C²-smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in ℝ⁴ », Ann. Math., 2^e série, vol. 158, n^o 3,‎ 2003, p. 953-976, arXiv:math/0110047

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