Coefficient de couplage électromécanique

Les coefficients de couplage électromécanique interviennent dans la physique des matériaux piézoélectriques. Ce sont des coefficients sans dimension dont la valeur est comprise entre 0 et 1 (elle peut aussi être exprimée en pourcents). Ils peuvent être vus comme une sorte de rendement : plus le coefficient s'approche de un, mieux le matériau convertit l'énergie électrique en énergie mécanique et inversement. Ces coefficients sont donc une caractéristique importante des matériaux piézoélectriques.

Définitions

Dans ce qui suit, on utilisera les notations standard. On notera notamment :

• $E_{i}$ et $D_{i}$ le champ électrique et le déplacement électrique respectivement ;
• $\epsilon _{ij}$ le tenseur de permittivité diélectrique ;
• $T_{\alpha }$ et $S_{\alpha }$ le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations respectivement ;
• $c_{\alpha \beta }$ et $s_{\alpha \beta }$ les tenseurs de rigidité et de complaisance respectivement.

À partir d'un cycle quasi statique

On peut définir le coefficient de couplage en considérant le cycle thermodynamique suivant. L'échantillon est préparé sous forme d'une plaquette sur laquelle on a déposé des électrodes sur deux faces opposées. La direction normale à la plaquette est noté 3 par commodité.

• Dans un premier temps, on place l'échantillon en conditions de court-circuit en connectant ses deux faces. Ceci permet d'assurer que le champ électrique aux bornes de l'échantillon reste nul. Puis on lui applique une contrainte de compression dans la direction 3 notée $-T_{3}$. On laisse par ailleurs l'échantillon mécaniquement libre, de sorte que $-T_{3}$ est la seule contrainte non nulle.
• On place ensuite l'échantillon en circuit ouvert, puis on relâche la force de compression. Lorsque la contrainte revient à zéro, l'échantillon ne revient pas dans l'état initial mais conserve une certaine déformation.
• Pour compléter le cycle, on connecte l'échantillon, qui forme maintenant un condensateur chargé, à une charge électrique idéale. En se déchargeant, l'échantillon revient à son état initial non déformé.

Le coefficient de couplage $k_{33}$ peut alors être défini comme le rapport de l'énergie électrique fournie sur l'énergie élastique totale emmagasinée. Le calcul montre alors que :

$k_{33}^{2}={\frac {s_{33}^{E}-s_{33}^{D}}{s_{33}^{E}}}={\frac {d_{33}^{2}}{\epsilon _{33}^{T}\,s_{33}^{E}}}$

Expression des principaux coefficients

Le tableau ci-dessous reprend les expressions des principaux coefficients de couplage, d'après les standards de la piézoélectricité.

Expression	Conditions aux limites élastiques
$k_{31}={\frac {d_{31}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{T}\,s_{11}^{E}}}}$	Contraintes toutes nulles sauf $T_{1}$
$k_{33}^{l}={\frac {d_{33}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{T}\,s_{33}^{E}}}}$	Contraintes toutes nulles sauf $T_{3}$
$k_{31}^{t}={\frac {e_{33}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{S}\,s_{33}^{D}}}}$	Déformations toutes nulles sauf $S_{3}$

Mesures des coefficients de couplage

Les coefficients de couplage électromécanique sont mesurés par la méthode de résonance-antirésonance qui consiste à faire une mesure de l'impédance électrique d'un échantillon. Si l'échantillon est taillé avec des dimensions adaptées, son spectre d'impédance fait apparaître un minimum et un maximum à des fréquences dites de résonance et d'antirésonance. Le coefficient de couplage pour le mode correspondant se calcule directement à partir de ces deux fréquences.

Valeurs pour quelques matériaux

Matériau	Forme	$k_{33}$ (%)
Quartz	cristal	10
BaTiO3	céramique	52
PZT (45/55)	céramique	60
LiNbO3	cristal	17

Voir aussi

Bibliographie

• (en) ANSI/IEEE Standard on Piezoelectricity, 1996 [détail de l’édition]
• (en) Takuro Ikeda (trad. du japonais), Fundamentals of Piezoelectricity, Oxford/New York/Tokyo, Oxford University Press, 1996, 263 p. (ISBN 0-19-856339-6)

Articles connexes

• Piézoélectricité