Carré magique d'inverses de nombres premiers

Un carré magique d'inverses de nombres premiers est un carré magique qui peut être obtenu en écrivant sur $p$ lignes successives le développement décimal des divisions de $1/p$, $2/p$ ... $(p-1)/p$. Le plus petit nombre à avoir cette propriété est le 19.

Explication

En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… De façon fortuite, les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0, 1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0, 2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0, 4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0, 5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0, 7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0, 8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne et chaque colonne donneront la même somme, en l'occurrence 1+4+2+8+5+7=27. Les diagonales ne donnant cependant pas 27, il ne s'agit pas d'un carré magique.

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique, mais seuls quelques uns constituent des carrés magiques.

Carré magique d'inverses de 19

Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1…
02/19 = 0, 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0, 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0, 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0, 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0, 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0, 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0, 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0, 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0, 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0, 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0, 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0, 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0, 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0, 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0, 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0, 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8…

Liste des premiers nombres donnant un carré magique d'inverses

Les carrés magiques d'inverses peuvent être obtenus en base 10 ou dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier	Base	Total
19	10	81
53	12	286
53	34	858
59	2	29
67	2	33
83	2	41
89	19	792
167	68	5 561
199	41	3 960
199	150	14 751
211	2	105
223	3	222
293	147	21 316
307	5	612
383	10	1 719
389	360	69 646
397	5	792
421	338	70 770
487	6	1 215
503	420	105 169
587	368	107 531
593	3	592
631	87	27 090
677	407	137 228
757	759	286 524
787	13	4 716
811	3	810
977	1 222	595 848
1 033	11	5 160
1 187	135	79 462
1 307	5	2 612
1 499	11	7 490
1 877	19	16 884
1 933	146	140 070
2 011	26	25 125
2 027	2	1 013
2 141	63	66 340
2 539	2	1 269
3 187	97	152 928
3 373	11	16 860
3 659	126	228 625
3 947	35	67 082
4 261	2	2 130
4 813	2	2 406
5 647	75	208 902
6 113	3	6 112
6 277	2	3 138
7 283	2	3 641
8 387	2	4 193

Voir aussi

Lien externe

G. Villemin, « Carrés magiques avec les décimales de l'inverse des nombres premiers »

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime reciprocal magic square » (voir la liste des auteurs).