Autocovariance

La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique $X=\{X_{t},t\in \mathbb {N} \}$ permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus.

Définition — Si le processus $X$ est à valeurs dans $\mathbb {R}$ et admet une variance $\operatorname {V} (X_{t})$ pour n'importe quel $t\in \mathbb {N}$, on définit la fonction d'autocovariance de $X$ par la fonction notée $R$ qui à tout couple d'entiers naturels $(t,s)$ associe le nombre noté $R(t,s)$ et défini par $R(t,s)\equiv \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {E} \left[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})\right]$, où $\mu _{t}=\operatorname {E} (X_{t})$

Si $X$ est un processus stationnaire au sens faible alors $\mu _{t}=\mu _{s}$ et $\operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{t+k},X_{s+k})$ pour n'importe quels entiers naturels $t,s,k$. Dans ce cas $R(t,s)=R(|t-s|,0)$ et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout $k\in \mathbb {Z}$ associe $\gamma (k)\equiv R(k,0)=\operatorname {Cov} (X_{k},X_{0})$. La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle $\gamma (k)$ l'autocovariance d'ordre $k$.

Propriété — Si $X$ est stationnaire au sens faible, $\gamma (-k)=\gamma (k)$

Cette propriété résulte directement du fait que $\gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)$. Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Références

• (en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, 2005, 5^e éd., 943 p. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2
• (en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, 1994, 799 p. (ISBN 978-0-691-04289-3, LCCN 93004958), p. 799
• (en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 5^e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, LCCN 98017325), p. 505

Voir aussi

• Bruit blanc
• Processus stationnaire
• Stationnarité d'une série temporelle