Arbelos
L'arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède (-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier.
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/6/68/Arbelos_diagram_with_points_marked.svg/220px-Arbelos_diagram_with_points_marked.svg.png)
Construction
modifierSoit un demi-cercle de diamètre BC. Soit A un point quelconque de ce diamètre.
- Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur.
- Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur.
- Considérer la surface intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos.
Propriétés
modifierCette figure possède de nombreuses propriétés, en voici quelques-unes :
Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale passant par A. L'aire de l'arbelos est égale à l'aire du cercle de diamètre AH.
- Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de , , . Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos . La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse. En d'autres termes : . Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH.
Propriété du rectangle : Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle.
- Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle)). Le quadrilatère ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle.
Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles.
- Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifier- Théorème des deux lunules
- Théorème de Descartes
- Cercles d'Archimède
- Cercles d'Apollonius
- Cercle de Mohr
- Salinon
Liens externes
modifier- (fr) Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, de Baptiste Gorin [PDF]
- (en) Harold P. Boas, « Reflections on the arbelos », The American Mathematical Monthly, vol. 113, no 3, , p. 236-249 (JSTOR 27641891, lire en ligne)
- (en) Christer Bergsten, « Magic Circles in the Arbelos », The Mathematics Enthusiastic, (lire en ligne)
- (en) Antonio M. Oller-Marcén, « The f-belos », Forum Geometricorum, vol. 13, , p. 103–111 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)
- (en) Eric W. Weisstein, « Arbelos », sur MathWorld
- (en) Site de www.retas.de – Un diagramme interactif avec beaucoup des propriétés de Arbelos
- Parties 1 et 2 d'un article de Hamza Khelif sur l'arbelos, pour le site Images des maths ()