Approximation de Korovkin

Le théorème d'approximation de Korovkin est un résultat d'analyse fonctionnelle découvert par Pavel Korovkin (en) dans les années 1950. Il permet de se contenter, pour démontrer que certains processus d'approximation convergent pour toutes les fonctions considérées, de le vérifier pour un ensemble fini d'entre elles. Il unifie ainsi divers procédés comme celui de Bernstein, qui fournit l'une des preuves du théorème de Weierstrass. Élémentaire mais fructueux, il est à l'origine d'une branche active de la théorie constructive de l'approximation.

Énoncé

Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (P_n) une suite d'opérateurs linéaires positifs (en) de C([a, b]) dans C([a, b]). Si P_n(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales f₀(x) = 1, f₁(x) = x et f₂(x) = x², alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b]).

Démonstration

Soit f une fonction continue sur [a, b]. Montrons que la suite des fonctions P_n(f) converge uniformément vers f sur [a, b]. Fixons un réel ε > 0.

L'application f, continue sur le compact [a, b], est :

• uniformément continue (d'après le théorème de Heine). Il existe donc η > 0 tel que $\forall x,y\in [a,b]\quad (|y-x|<\eta \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon )$ ;
• bornée (d'après le théorème des bornes). Notons M un majorant de | f |.

Soit x ∈ [a, b]. Pour tout y ∈ [a, b], on a :

• si |y – x| < η alors |f(y) – f(x)| < ε ;
• si |y – x| ≥ η alors |f(y) – f(x)| ≤ 2M ≤ 2M(y – x)²/η².

La valeur f(y) est donc toujours comprise entre $g_{x}(y):=f(x)-\varepsilon -{\frac {2M(y-x)^{2}}{\eta ^{2}}}\quad {\rm {et}}\quad d_{x}(y):=f(x)+\varepsilon +{\frac {2M(y-x)^{2}}{\eta ^{2}}}.$ Par positivité des opérateurs P_n, on en déduit que $P_{n}(g_{x})\leq P_{n}(f)\leq P_{n}(d_{x}).$ Or g_x et d_x sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de f₂, f₁ et f₀ — donc (par hypothèse sur les P_n) $P_{n}(g_{x})\to g_{x}\quad {\rm {et}}\quad P_{n}(d_{x})\to d_{x},$ uniformément sur [a, b]. De plus, puisque les coefficients de ces deux combinaisons linéaires sont des fonctions bornées de x ∈ [a, b], la convergence est également uniforme par rapport à x. Il existe donc N tel que pour tout n ≥ N et tous x, y ∈ [a, b] : $|P_{n}(g_{x})(y)-g_{x}(y)|\leq \varepsilon \quad {\rm {et}}\quad |P_{n}(d_{x})(y)-d_{x}(y)|\leq \varepsilon ,$ en particulier : $|P_{n}(g_{x})(x)-(f(x)-\varepsilon )|\leq \varepsilon \quad {\rm {et}}\quad |P_{n}(d_{x})(x)-(f(x)+\varepsilon )|\leq \varepsilon ,$ d'où finalement : $f(x)-2\varepsilon \leq P_{n}(g_{x})(x)\leq P_{n}(f)(x)\leq P_{n}(d_{x})(x)\leq f(x)+2\varepsilon .$ On a donc bien : $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in [a,b]\quad |P_{n}(f)(x)-f(x)|\leq 2\varepsilon .$