Annuité constante

L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un emprunt

La formule du taux d'annuité constante

$E$ étant la valeur du capital emprunté ou emprunt,
$i$ le taux d'intérêt sur la période,
n le nombre de périodes pour le remboursement

La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est : $A=E\times {i \over 1-(1+i)^{-n}}$

Le taux d'annuité constante est : $a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

Exemple d'un échéancier

Pour un prêt à remboursement par annuité constante de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % ( $E$ =160 000, n=5, $i$ =1.2%) :

	1^re année	2^e année	3^e année	4^e année	5^e année	total
annuités constantes	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	33161,16	165805,80
amortissements	31241,16	31616,05	31995,45	32379,39	32767,95	160000
intérêts	1920	1545,11	1165,71	781,77	393,21	5805,80

L'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt).

Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de 160 000 sur 5 ans à un taux de 1.2 % :

	1^re année	2^e année	3^e année	4^e année	5^e année	total
annuités	33920	33536	33152	32768	32384	165760
amortissements constants	32000	32000	32000	32000	32000	160000
intérêts	1920	1536	1152	768	384	5760

Démonstration de la formule

L'emprunteur doit verser l'annuité constante $A$ jusqu'à remboursement au temps prévu. Les intérêts sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par $i$ . Ils vont donc en s'amenuisant. Les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant.

Échéances	Emprunt - Restant dû	Intérêts	Amortissements (Remboursements)	Annuités
0	$E=E_{0}$
1	$E_{1}=E_{0}-R_{1}=E_{0}+I_{1}-A=E_{0}(1+i)-A$	$I_{1}=iE_{0}$	$R_{1}=E_{0}-E_{1}=A-I_{1}$	$A$
⠇	⠇	⠇	⠇	⠇
$k$	$E_{k}=E_{k-1}-R_{k}=E_{k-1}+I_{k}-A=E_{k-1}(1+i)-A$	$I_{k}=iE_{k-1}$	$R_{k}=E_{k-1}-E_{k}=A-I_{k}$	$A$
⠇	⠇	⠇	⠇	⠇
$n$	$E_{n}=E_{n-1}-R_{n}=0$	$I_{n}=iE_{n-1}$	$R_{n}=E_{n-1}=A-I_{n}$	$A$

$E_{0}=E{\text{ , }}E_{k+1}=E_{k}(1+i)-A.$

$(E_{k})$ est donc une suite arithmético-géométrique que l'on peut par translation ramener à une suite géométrique :

$F_{k}=E_{k}-P,E_{k}=F_{k}+P$

$F_{k+1}=E_{k+1}-P=E_{k}(1+i)-A-P=(F_{k}+P)(1+i)-A-P=F_{k}(1+i)+P(1+i)-A-P$

Pour $P(1+i)-A-P=0\Leftrightarrow P={\frac {A}{i}}\Leftrightarrow {\text{P point fixe, }}P=P(1+i)-A$ ,

$~(F_{k}){\text{ est géométrique }}:F_{0}=E_{0}-{\frac {A}{i}},F_{k+1}=F_{k}(1+i)$

On cherche $A$ tel que $E_{n}=0$

$F_{n}=E_{n}-{\frac {A}{i}}=-{\frac {A}{i}}=F_{0}(1+i)^{n}=(E_{0}-{\frac {A}{i}})(1+i)^{n}\Rightarrow A=E_{0}\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad$ ^[1]

cqfd.

La formule des remboursements

La suite $(R_{k})_{k\geqslant 1}=(E_{k-1})-(E_{k})$ est géométrique de raison $(1+i)\qquad$ ^[2],

de 1^er terme $R_{1}=E_{0}-E_{1}=A-I_{1}=aE_{0}-iE_{0}=(a-i)E$

de n-ième terme $R_{n}=A(1+i)^{-1}\qquad$ ^[3]

de k-ième terme $R_{k}=(a-i)E(1+i)^{k-1}=A(1+i)^{k-n-1}$

C'est la (les) formule(s) des remboursements.

Elles permettent également de calculer $a$ et $A=E\times a$

$\sum _{k=1}^{n}R_{k}=E_{0}-E_{n}=E$

$\sum _{k=1}^{n}R_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a-i)E(1+i)^{k-1}=E\Rightarrow (a-i)\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1}=1\Rightarrow a={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad$ ^[4]

$\sum _{k=1}^{n}R_{k}=\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{k-n-1}=E\Rightarrow A=E\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\qquad$ ^[5]

Les annuités de placement

Calcul du capital à l'échéance

À l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement, par exemple pour les épargnants qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Pour le capital constitué on a similairement au remboursement de l'emprunt $K_{0}=A{\text{ , }}K_{k+1}=K_{k}(1+i)+A$ , ce qui permet de même de calculer l'annuité en fonction du montant du capital constitué visé en n périodes.

Périodes	Annuités	Capital constitué
0	$A$	$K_{0}=A$
1	$A$	$K_{1}=A(1+i)+A$
⠇	⠇	⠇
k	$A$	$K_{k}=K_{k-1}(1+i)+A=A(1+i)^{k}+\ldots +A=A\sum _{p=0}^{k}(1+i)^{p}=A{\frac {(1+i)^{k+1}-1}{i}}$
⠇	⠇	⠇

Le versement de la dernière annuité n'ayant évidemment pas de sens le capital constitué en n périodes est $K=K_{n-1}(1+i)=A(1+i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

Rappel sur le calcul des intérêts

Si K_o est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre de périodes, I le montant à échéance des intérêts et K_n le montant du capital à l'échéance, l'intérêt simple au bout des n années est $I={K_{0}}\times {i}\times {n}$ , la valeur acquise de $K_{n}=K_{0}+(K_{0}\times i\times n)=K_{0}(1+i\times n)$ .

Exemple : $K_{0}$ = 30 000, $i$ = 1 %, $n$ = 10 . Alors : $I$ = 30 000 x 0,01 x 10 = 3 000 , $K_{n}$ = 30 000 (1 + 0,01 x 10) = 33 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

$K_{n}={K_{0}}\times {(1+i)}\times {(1+i)}\times \ldots \times {(1+i)}={K_{0}}\times {(1+i)}^{n}$

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient : $K_{n}$ = 30 000 x 1,01¹⁰ = 33 138,66

Références et notes

Benjamin Legros, mini manuel de Mathématiques financières – Dunod mai 2011 , suites arithmético-géométriques p. 12 , remboursement par annuités constantes p. 95-98
Alain Planche, Manuel Mathématiques pour économistes, 3^e ed° – Dunod janvier 2005 , suites arithmético-géométriques (parallèle avec équation différentielle 1^er ordre) p. 249-256
Gérard Chauvat, Alain Cholet, Yves Bouteillet, Mathématiques BTS/DUT Analyse – EdiScience juillet 2005 , suites arithmético-géométriques, point fixe p. 278
Robert Maéso, André Philips, Christian Raulet, Comptabilité financière, comptabilité générale – Dunod 2017 (Formule sans démonstration).
Dorothée Ansermino, Yves Virton (Auteur), La gestion pour les Nuls – Edition First-Gründ Paris septembre 2012 (Formule sans démonstration).
Aymric Kamega, « Introduction aux mathématiques financières », sur Euria (Euro-institut d'actuariat), octobre 2014, p. 13-17
« Exercices d'application et démonstration », sur apprendreeconomie.com
« Vidéo sur la démonstration de la formule pour l'annuité de placement »

↑ $-{\frac {A}{i}}=(E_{0}-{\frac {A}{i}})(1+i)^{n}\Rightarrow A=(A-E_{0}\times i)(1+i)^{n}\Rightarrow A(1-(1+i)^{n})=-E_{0}\times i(1+i)^{n}\Rightarrow A=E_{0}\times {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=E_{0}\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$
↑ $R_{k+1}=E_{k}-E_{k+1}=E_{k-1}(1+i)-A-E_{k}(1+i)+A=(E_{k-1}-E_{k})(1+i)=R_{k}(1+i)$
↑ La dernière annuité, le remboursement de l'emprunt $R_{n}$ est égal à l'emprunt résiduel $E_{n-1}$ d'où $A=R_{n}(1+i)$ .
↑ $\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$ , somme d'une suite géométrique. $(a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=1\Rightarrow a={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$
↑ $\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1-n}=(1+i)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}(1+i)^{k}$ , idem.

Voir aussi

[1] $-{\frac {A}{i}}=(E_{0}-{\frac {A}{i}})(1+i)^{n}\Rightarrow A=(A-E_{0}\times i)(1+i)^{n}\Rightarrow A(1-(1+i)^{n})=-E_{0}\times i(1+i)^{n}\Rightarrow A=E_{0}\times {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=E_{0}\times {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

[2] $R_{k+1}=E_{k}-E_{k+1}=E_{k-1}(1+i)-A-E_{k}(1+i)+A=(E_{k-1}-E_{k})(1+i)=R_{k}(1+i)$

[3] La dernière annuité, le remboursement de l'emprunt $R_{n}$ est égal à l'emprunt résiduel $E_{n-1}$ d'où $A=R_{n}(1+i)$ .

[4] $\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$ , somme d'une suite géométrique. $(a-i)\times {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=1\Rightarrow a={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$

[5] $\sum _{k=1}^{n}(1+i)^{k-1-n}=(1+i)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}(1+i)^{k}$ , idem.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]