Anneau de cohomologie

En mathématiques, plus précisément en topologie algébrique, l'anneau de cohomologie d'un espace topologique X est un anneau composé des groupes de cohomologie de X, et dont l'opération de multiplication est le cup-produit. Dans ce cadre, la 'cohomologie' désigne généralement la cohomologie singulière, mais la structure d'anneau est aussi présente dans d'autres théories, comme la cohomologie de De Rham. Il est également fonctoriel : on peut trouver un morphisme d'anneaux continue, lequel est contravariant.

Soit $H^{k}(X,R)$ une suite de groupes de cohomologie sur $X$ à coefficients dans un anneau commutatif $R$ (par exemple, on peut prendre $\mathbb {Z} _{n},\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ...$). On peut alors définir le cup-produit :

$H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).$

Le cup-produit donne une opération de multiplication sur la somme directe des groupes de cohomologie.

$H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).$

Muni de cette opération de multiplication, $H^{\bullet }(X,R)$ devient un anneau. En fait, c'est même une algèbre $\mathbb {N}$-graduée, de degré $k$.

L'anneau de cohomologie est gradué-commutatif, au sens où ses éléments commutent au signe près, lequel est déterminé par leur degré. Plus précisément, pour des éléments de degrés $k,l$, on a :

$(\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).$

Un invariant numérique dérivé de l'anneau de cohomologie est la longueur de cup, qui désigne le nombre maximal d'éléments gradués de degrés supérieurs à 1 qui ne s'annulent pas lorsque multipliés. Par exemple, un espace projectif complexe a une longueur de cup égale à sa dimension.

Exemples

• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ avec $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$ avec $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ avec $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ avec $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ avec $|\alpha |=4$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ avec $|\alpha |=4$.

Voir aussi

• Cohomologie quantique (en)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohomology ring » (voir la liste des auteurs).
• S. P. Novikov, Topology I, General Survey, Springer-Verlag, 1996 (ISBN 7-03-016673-6)
• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 0-521-79540-0)