Algorithme LLL

L’algorithme LLL, des initiales de A. Lenstra, H. Lenstra et L. Lovász, est un algorithme de réduction de réseau qui s'exécute en temps polynomial.

Présentation

L'algorithme LLL procède à une réduction de base de réseau. Il prend en entrée un nombre d de vecteurs de base d'un réseau, tels que ces vecteurs soient de dimension n et de norme inférieure à B, et retourne en sortie une base de réseau LLL-réduite, c'est-à-dire presque orthogonale, en temps $O(d^{5}n\log ^{3}B)\,$ .

Pseudo-code

L'algorithme LLL repose sur l'algorithme de réduction faible de bases, qui permet de rendre une base presque orthogonale.

Entrée : Une base  $B=(e_{1},...,e_{n})$ 
Sortie : Une base réduite issue de  $B$ 
LLL(B):
  B =  $(e_{1},...,e_{n})\leftarrow$  ReducFaible(B)

  *On fait Gram-Schmidt*
  Pour i=1 à n :                      
     Pour j= 1 à i-1 :
         $a_{i,j}\leftarrow {\dfrac {<e_{i},e_{j}>}{<e_{j},e_{j}>}}$ 
       $e_{i}\leftarrow e_{i}-\sum _{j<i}a_{i,j}e_{j}$ 

  Si B est réduite
    retourne B
  Sinon
     $i\leftarrow min(\lbrace ||j\in [1,n]~|~e_{j}+a_{j+1,j}e_{j+1}||^{2}<{\dfrac {3}{4}}||e_{j}||^{2}\rbrace )$ 
    echanger( $e_{i}$ , $e_{i+1}$ )
    retourne LLL(B)

Applications

À l'origine, les applications consistaient en la production d'un algorithme de factorisation des polynômes à coefficients rationnels en produits de polynômes irréductibles, ainsi qu'en la résolution des problèmes d'optimisation linéaire avec solutions entières et dimensions fixes. D'autres applications ont été découvertes en cryptographie^[1], notamment en cryptographie à clé publique, par exemple avec RSA, les cryptosystèmes basés sur le problème du sac à dos et NTRUEncrypt. En particulier l'algorithme LLL a rendu inefficaces tous les cryptosystèmes utilisant le problème du sac à dos^[2]. Il sert également dans le cas des réseaux euclidiens.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm » (voir la liste des auteurs).

↑ Abderrahmane Nitaj, « Applications de l'algorithme LLL en cryptographie », sur Département de Mathématiques et Mécanique de l'Université de Caen Basse Normandie (UCBN).
↑ Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), VI. Cryptographie, chap. 6 (« La méthode du sac à dos »), p. 538-539.

Bibliographie

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(en) A. Lenstra, H. Lenstra et L. Lovász, « Factoring polynomials with rational coefficients », Mathematische Annalen, vol. 261, n^o 4,‎ 1982, p. 515–534 (DOI 10.1007/BF01457454, MR 0682664, lire en ligne)
(en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, Springer, 2002 (ISBN 978-0-387-95444-8) : contient une description complète de l'algorithmes ainsi que des implémentations en pseudocode
Abuaf Roland, Boyer Ivan, « Factorisation dans $\mathbb {Z} [X]$ », Exposé de maîtrise proposé par François Loeser,‎ 20 juin 2007 (lire en ligne)

[1] Abderrahmane Nitaj, « Applications de l'algorithme LLL en cryptographie », sur Département de Mathématiques et Mécanique de l'Université de Caen Basse Normandie (UCBN).

[boyer-2] Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), VI. Cryptographie, chap. 6 (« La méthode du sac à dos »), p. 538-539.

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