10-cage de Balaban
La 10-cage de Balaban (ou (3,10)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 70 sommets et 105 arêtes.
| 10-cage de Balaban | |
 Représentation de la 10-cage de Balaban | |
| Nombre de sommets | 70 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 105 |
| Rayon | 6 |
| Diamètre | 6 |
| Maille | 10 |
| Automorphismes | 80 |
| Nombre chromatique | 2 |
| Indice chromatique | 3 |
| Propriétés | Cubique Cage Hamiltonien |
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Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1972[1].
Propriétés
modifierPropriétés générales
modifierLa 10-cage de Balaban est une (3,10)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 10 et étant régulier de degré 3. Il s'agit de la première cage de ce type à avoir été découverte, mais elle n'est pas unique[2]. La liste complète des (3-10)-cages a été donnée par O'Keefe et Wong en 1980[3]. Il en existe trois distinctes, les deux autres étant le graphe de Harries et le graphe de Harries-Wong[4].
La 10-cage de Balaban est un graphe hamiltonien. Elle possède 91 440 cycles hamiltoniens distincts.
Le diamètre de la 10-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, ainsi que son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, sont tous deux égaux à 6. Cela entraîne que tous ses sommets appartiennent à son centre. Il s'agit par ailleurs d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Comme il est régulier de degré 3, ce nombre est optimal. La 10-cage de Balaban est donc un graphe optimalement connecté.
Coloration
modifierLe nombre chromatique de la 10-cage de Balaban est 2, c'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est (évidemment) minimal.
L'indice chromatique de la 10-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
modifierLe groupe d'automorphismes de la 10-cage de Balaban est d'ordre 80.
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence de la 10-cage de Balaban est : .
Représentations
modifier-
Représentation du nombre chromatique de la 10-cage de Balaban : 2. -
Représentation de l'indice chromatique de la 10-cage de Balaban : 3. -
Représentation alternative du graphe.
Voir aussi
modifierLiens internes
modifierLiens externes
modifier- (en) Balaban 10-Cage (MathWorld)
Références
modifier- (en) A. T. Balaban, A trivalent graph of girth ten, J. Combinatorial Theory, Set. B, 12:1-5, 1972
- (en) T. Pisanski, M. Boben, D. Marušič et A. Orbanić, The Generalized Balaban Configurations, Preprint 2001 citeseer.ist.psu.edu
- (en) M. O'Keefe et P.K. Wong, A smallest graph of girth 10 and valency 3, J. Combin. Theory Ser. B 29 (1980) 91-105.
- (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 237, 1976.
