Équation de Liouville

En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non linéaire satisfaite par le facteur conforme $f$ d'une métrique $f^{2}(dx^{2}+dy^{2})$ sur une surface de courbure de Gauss constante K :

$\Delta \;\log f=-Kf^{2},$

où $\Delta$ est l'opérateur de Laplace.

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$

Solution générale

Dans un domaine simplement connexe $\Omega$, la solution générale est donnée par :

$u(z,{\bar {z}})={\frac {1}{2}}\ln \left(4{\frac {|\mathrm {d} f(z)/\mathrm {d} z|^{2}}{(1+K|f(z)|^{2})^{2}}}\right)$

où $f$ est une fonction fonction méromorphe localement univalente et $1+K|f(z)|^{2}$^[Quoi ?] quand $K<0$.

Voir aussi

Équations de Gauss-Codazzi

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville's equation » (voir la liste des auteurs).