Équation de Emden–Chandrasekhar

En astrophysique l'équation de Emden–Chandrasekhar est une forme non linéaire de l'équation de Poisson décrivant la distribution de masse volumique d'une sphère de gaz isotherme soumise à sa propre force gravitationnelle. Elle est ainsi nommée d'après Robert Emden (1907) et Subrahmanyan Chandrasekhar.

Solution numérique de l'équation Emden–Chandrasekhar.

L'équation s'écrit :

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }$

où $\xi$ est le rayon adimensionné et $\psi$ est un coefficient lié à la masse volumique de la sphère de gaz par $\rho =\rho _{c}e^{-\psi }$, où $\rho _{c}$ est la valeur centrale. L'équation n'a pas de solution analytique connue. Si l'on utilise un fluide polytropique au lieu d'un fluide isotherme on obtient l'équation de Lane-Emden. L'hypothèse isotherme est généralement utilisée pour décrire le noyau d'une étoile. L'équation est résolue avec les conditions initiales suivantes :

$\psi =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{en}}\quad \xi =0$

L'équation apparaît également dans d'autres branches de la physique, par exemple dans la théorie de Frank-Kamenetskii en géométrie sphérique. La version relativiste de ce modèle isotherme à symétrie sphérique a été étudiée par Chandrasekhar en 1972.

Dérivation

Pour une étoile gazeuse isotherme, la pression $p$ est due à la pression cinétique et à la pression de rayonnement

$p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}$

où

• $\rho$ est la masse volumique,
• $k_{B}$ est la constante de Boltzmann,
• $W$ est la masse molaire moyenne,
• $H$ est la masse du proton,
• $T$ est la température de l'étoile,
• $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann,
• $c$ est la vitesse de la lumière.

L'équation d'équilibre de l'étoile nécessite un équilibre entre la force de pression et la force gravitationnelle :

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho$

où $r$ est le rayon mesuré à partir du centre et $G$ est la constante gravitationnelle. L'équation est réécrite de la façon suivante :

${\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho$

Solution réelle et solution asymptotique.

On utilise les transformations suivantes :

$\psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2}$

où $\rho _{c}$ est la densité centrale de l'étoile.

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }$

Il n'y a pas de solution analytique connue mais on peut trouver une solution approchée pour $\xi \ll 1$ sous forme de développement :

$\psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdots$

Autres formes de l'équation

• On peut se ramener à une équation du premier ordre grâce à une transformation due à Edward Arthur Milne :

$u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}$

Ce qui conduit à :

${\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}=-{\frac {u-1}{u+v-3}}$

• Une autre méthode utilise une fonction singulière donnée par $x=1/\xi$. Elle transforme l'équation en :

$x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }$

Cette équation possède une solution singulière donnée par :

$e^{-\psi _{s}}=2x^{2}\quad \Rightarrow \quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2$

Cela suggère l'introduction d'une nouvelle fonction $z=-\psi -2\ln x$ obéissant à :

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0\quad {\text{où}}\quad t=\ln x$

Cette équation peut être réduite au premier ordre en introduisant une nouvelle fonction :

$y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2$

On a alors pour cette dernière :

$y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0$

Propriétés de la solution

• Si $\psi (\xi )$ est une solution de l'équation d'Emden–Chandrasekhar, alors $\psi (A\xi )-2\ln A$, où $A$ est une constante arbitraire, est aussi une solution de l'équation.
• Les solutions de l'équation qui sont finies à l'origine ont nécessairement $d\psi /d\xi =0$ à $\xi =0$.

Limites du modèle

L'hypothèse d'une sphère isotherme représente mal une étoile : la masse volumique obtenue diminue trop lentement à partir du centre pour donner une surface bien définie et une masse finie. On utilise pafois pour $\xi \gg 1$ l'approximation suivante :

${\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]$

où $A$ et $\delta$ sont des constantes qui sont obtenues à partir d'une solution numérique.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Emden–Chandrasekhar equation » (voir la liste des auteurs).