Écrantage du champ électrique

L'écrantage du champ électrique consiste en l'atténuation du champ électrique en raison de la présence de porteurs de charge électrique mobiles au sein d'un matériau. Il s'agit d'un comportement essentiel des fluides porteurs de charge, comme les gaz ionisés (plasmas), les porteurs de charge électrique. L'écrantage électrique est un phénomène important parce qu'il diminue considérablement la pertinence de l'étude des champs électriques. Cependant, comme les fluides en jeu comportent des particules chargées, ils peuvent produire des champs magnétiques ou être affectés par eux. Cela fait un sujet d'étude particulièrement pertinent et complexe de l'astrophysique.

Dans un fluide composé de particules chargées, les particules interagissent au travers de la loi de Coulomb.

$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}\left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$.

Cette interaction complique l'étude théorique du fluide. Par exemple, un calcul naïf de la densité d'énergie du niveau fondamental, dans le formalisme de la mécanique quantique, diverge vers l'infini, ce qui n'est pas raisonnable. La difficulté vient du fait que la force de Coulomb varie avec la distance en $1/r^{2}$. Or le nombre moyen de particules à la distance $r$ est proportionnel à $r^{2}$, en supposant que le fluide est isotrope. En conséquence, une variation de charge en un point quelconque du fluide a un effet non négligeable à grande distance.

En réalité, ces effets à grande distance sont annulés par le flux de particules en réponse aux champs électriques. Ce flux réduit l'interaction efficace entre les particules à une interaction de Coulomb écrantée et limitée à courte distance.

Par exemple, considérons un fluide composé d'électrons. Chaque électron crée un champ électrique qui repousse les autres électrons. En conséquence, l'espace qui l'environne possède une densité d'électrons plus faible qu'en d'autres endroits du fluide. Cette région peut être traitée comme un trou chargé positivement. Vu depuis une grande distance, ce trou est équivalent à une charge électrique positive supplémentaire qui annule le champ produit par l'électron. C'est seulement à courte distance, au voisinage du trou, que le champ de l'électron produit un effet sensible.

Écrantage électrostatique

Un premier calcul théorique de l'écrantage, dû à Debye et Hückel (1923), considère des charges ponctuelles en équilibre stationnaire dans un fluide. Cet ensemble d'hypothèses est connu comme l'écrantage électrostatique.

Considérons un fluide d'électrons dans une matrice d'ions chargés positivement et bien plus lourds que les électrons. Par simplicité, nous supposerons que les ions positifs peuvent être ramenés à une distribution uniforme de charge. Cela est possible du fait que les électrons sont plus légers et plus mobiles que les ions et que nous considérons des distances bien plus élevées que la distance qui sépare les ions. Ce modèle s'appelle aussi un continuum diélectrique macroscopique.

Notons $\rho$ la densité volumique d'électrons et $\phi$ le potentiel électrique. Nous supposerons que les électrons sont initialement équirépartis de sorte qu'il y a une charge nette nulle en tout point. Ainsi, $\phi$ est initialement uniforme.

Introduisons une charge ponctuelle $Q$ à l'origine du repère. À cette charge est associée une densité de charge $Q\delta (r)$, où $\delta$ est la distribution de Dirac. Une fois le système à l'équilibre, appelons $\Delta \rho (r)$ et $\Delta \phi (r)$ les changements dans la densité de charge électronique et dans le potentiel électrique. Or la charge électrique et la densité de charge sont reliés par la première équation de Maxwell :

$-\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\epsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\,\Delta \rho (r)]$.

Pour pouvoir continuer ce calcul, nous devons trouver une deuxième équation indépendante qui relie $\Delta \rho$ et $\Delta \phi$. Il existe deux approximations pour lesquelles ces deux grandeurs sont proportionnelles : l'approximation de Debye-Hückel, valable à haute température, et l'approximation de Fermi-Thomas, qui s'applique à basse température.

Approximation de Debye-Hückel

Dans l'approximation de Debye-Hückel, le système est supposé maintenu à l'équilibre, à une température $T$ suffisamment élevée pour que les particules suivent la statistique de Maxwell-Boltzmann. En chaque point de l'espace, la densité des électrons d'énergie $j$ a pour forme

$\rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \!\left[{\frac {e\phi (r)}{k_{B}T}}\right]$

où $k_{B}$ est la constante de Boltzmann. Si nous développons au premier ordre en supposant une perturbation dans $\phi$, nous obtenons :

$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$

avec

$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{B}T}}}$.

La longueur $\lambda _{D}\equiv 1/k_{0}$ est appelée longueur de Debye. Il s'agit d'une échelle de longueur fondamentale en physique classique des plasmas.

Approximation de Fermi-Thomas

Dans l'approximation de Fermi-Thomas, nous supposons que le système est maintenu à un potentiel chimique constant et à basse température. En pratique, la première des deux approximations consiste à supposer que le système est en contact électrique avec une référence de potentiel électrique comme la terre. Le potentiel chimique, noté $\mu$ est par définition l'énergie nécessaire pour ajouter un électron supplémentaire au système. Cette énergie peut être décomposée en une énergie cinétique $T$ et une énergie potentielle $e\phi$. Puisque le potentiel chimique est constant,

$\Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0$.

Si la température est très basse, le comportement des électrons peut être traité dans le cadre du modèle de gaz d'électrons libres. Nous faisons donc l'hypothèse que $T$ peut être approché par l'énergie d'un électron dans le gaz, ce qui est simplement l'énergie de Fermi $E_{F}$. L'énergie de Fermi est reliée à la densité d'électrons (en incluant la dégénérescence de spin) par :

$\rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{F}^{3}\quad ,\quad E_{F}={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}}$.

En perturbant cette expression au premier ordre, nous trouvons que

$\Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{E_{F}}}\Delta E_{F}$.

En insérant cette expression dans l'équation ci-dessus de $\Delta \mu$, nous obtenons :

$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$

avec

$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{\varepsilon _{0}E_{F}}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{f}}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}$.

$k_{0}$ est appelé le vecteur d'onde écranté de Fermi-Thomas.

Remarquons que nous avons utilisé un résultat provenant d'un gaz d'électrons libres, ce qui est un modèle d'électrons sans interactions, alors que le fluide que nous étudions comporte une interaction de Coulomb. L'approximation de Fermi-Thomas n'est donc valable que lorsque la densité d'électrons est suffisamment grande pour que les interactions entre particules soient faibles.

Interaction de Coulomb écrantée

Les résultats que nous avons obtenus à partir des approximations de Debye-Hückel ou Fermi-Thomas peuvent maintenant être insérés dans la première équation de Maxwell :

$\left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r)$.

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Poisson écrantée (en). Une solution est

$\phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r}$.

Elle est connue sous le nom de potentiel de Coulomb écranté. Il s'agit d'un potentiel de Coulomb multiplié par une exponentielle d'amortissement. La force de l'amortissement est donnée par $k_{0}$, vecteur d'onde de Fermi-Thomas.

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